Question

Se tomo una encuesta a 300 personas sobre las preferencias de tres diarios "A" "B"y "C", averiguándose que:
- 250 leen "A"o"B"
- 100 leen "A" pero no leen "B"
- 120 leen "B" pero no leen "A"
- 20 no leen estos diarios
- no mas de 10 leen los tres diarios mencionados
¿cual es el numero de personas que podrian leer "A"y"B" pero no "C"?

Answer 1

Entre 10 y 20 personas podrian leer "A"y"B" pero no "C"

Sea A el conjunto de las personas que leen el diario A

Sea B el conjunto de las personas que leen el diario B

Sea C el conjunto de las personas que leen el diario B

- 250 leen A o B: |A U B| = 250

- 100 leen A pero no B: |A| - |A∩B| = 100

- 120 leen "B" pero no leen "A": |B| - |A∩B| = 120

- 20 no leen estos diarios: |(AUBUC)'| = 20

- No más de 10 leen los tres |A∩B∩C| ≤ 10

Queremos el numero de personas que podrían leer "A"y"B" pero no "C"

|A∩B| -  |A∩B∩C|

|AUB| = |A| + |B| -  |A∩B|

2|AUB| = 2|A| + 2|B| -  2|A∩B|

2|A∩B| = 2|A| + 2|B| - 2|AUB|

Tenemos que:

|A∩B| = |A| - 100

|A∩B| = |B| - 120

2 |A∩B| = |A| + |B| - 220

Por lo tanto:

2|A| + 2|B| - 2|AUB| = |A| + |B| - 220

|A| + |B| - 2*250 = - 220

|A| + |B| = -220 + 500 = 280

Sustituyendo:

2 |A∩B| = 280 - 220 = 60

|A∩B| = 60/2 = 30

|A∩B| -  |A∩B∩C|  = 20 -  |A∩B∩C| Como |A∩B∩C| es positivo

|A∩B| -  |A∩B∩C|  = 20 -  |A∩B∩C|  ≤ 20

Como no más de 10 leen los 3 diarios entonces:

|A∩B∩C| ≤ 10

-  |A∩B∩C| ≥ -10

20 ≥ |A∩B| -  |A∩B∩C|  = 20 -  |A∩B∩C| ≥ 20 -10 ≥ 10