Se tienen dos urnas, U1 y U2. En la urna 1, hay cinco esferas etiquetadas con los siguientes números: 2, 4, 10, 13, 15. En la urna 2, hay nueve esferas etiquetadas con los siguientes números: 1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 15. Si nuestro experimento es “extraer primero una esfera de la urna 1 y después, otra esfera de la urna 2”, determina la probabilidad de que:
a) ambas esferas extraídas sean números pares mayores o iguales que 10
b) ambas esferas extraídas sean números impares menores o iguales que 10
c) ambas esferas sean de igual valor numérico
d) la suma de los valores de ambas esferas extraídas sea mayor o igual que 10
e) P(B|A) considerando que:
• A = “ambos números son pares”
• B = “el resultado de multiplicar ambos números es una cifra que no termina en cero”
Respuestas a la pregunta
Hay una probabilidad de:
a) 2/45 de que ambas esferas extraídas sean números pares mayores o iguales que 10
b) 0 de que ambas esferas extraídas sean números impares menores o iguales que 10
c) 1/5 de que ambas esferas sean de igual valor numérico
d) 38/45 de que la suma de los valores de ambas esferas extraídas sea mayor o igual que 10
e) 4/9 de que ambas esferas extraídas sean números pares y que el resultado de multiplicar ambos números sea una cifra que no termina en cero
Explicación:
La situación planteada implica extraer una esfera de cada urna. Estos son eventos independientes, pues lo que suceda en una urna no es vinculante a lo que pase en la otra.
Por tanto la probabilidad de ocurrencia del evento dos esferas compuesto por una esfera de cada urna, se obtiene multiplicando la probabilidad de extracción de una esfera en cada urna.
Cada urna es un espacio muestral equiprobable; es decir, cada esfera tiene la misma probabilidad de ser extraida. La probabilidad de extracción de una esfera en particular se calcula dividiendo la cantidad de esferas con una característica deseada por el número total de esferas que existan en la urna.
Resolvamos nuestro problema:
a) Ambas esferas extraídas sean números pares mayores o iguales que 10
Urna 1: esferas con números pares iguales o mayores que 10: 1 (10) esfera de 5
Probabilidad asociada = 1/5
Urna 2: esferas con números pares iguales o mayores que 10: 2 (10, 12) esferas de 9
Probabilidad asociada = 2/9
P(Ambas pares ≥ 10) = (1/5)(2/9) = 2/45
b) Ambas esferas extraídas sean números impares menores o iguales que 10
Urna 1: esferas con números impares iguales o menores que 10: 0 esferas de 5
Probabilidad asociada = 0
Urna 2: esferas con números impares iguales o menores que 10: 4 (1, 3, 7, 9) esferas de 9
Probabilidad asociada = 4/9
P(ambas impares ≤ 10) = (0)(4/9) = 0
c) Ambas esferas sean de igual valor numérico
los números que se repiten en ambas urnas son: 4, 10, 15
Urna 1: esferas con 4, 10, 15: 3 esferas de 5
Probabilidad asociada = 3/5
Urna 2: esferas con 4, 10, 15: 3 esferas de 9
Probabilidad asociada = 1/3
P(Ambas mismo número) = (3/5)(1/3) = 1/5
d) La suma de los valores de ambas esferas extraídas sea mayor o igual que 10
En este caso la probabilidad se calcula mas facilmente usando el complemento. Es mas sencillo determinar que sumas son menores que 10 y excluir sus probabilidades de ocurrencia. Cada una de estas sumas tiene (1/5)(1/9) = 1/45 de probabilidad de ocurrencia.
Las sumas a excluir son los siguientes pares (U1, U2): (2, 1) (2, 3) (2, 4) (2, 7) (4, 1) (4, 3) (4, 4)
En total 7 pares, cuya probabilidad seria = 7(1/45) = 7/45
P(Suma ≥ 10) = 1 - (7/45) = 38/45
e) P(B|A) considerando que:
• A = “ambos números son pares”
• B = “el resultado de multiplicar ambos números es una cifra que no termina en cero”
Esta es una probabilidad condicional, ya que se quiere la probabilidad de ocurrencia del evento B dado que el evento A ya ocurrió. Se calcula por la fórmula:
P(B|A) = P(B∩A)/P(A)
Calculemos las probabilidades de los componentes de la fórmula
P(A)
Urna 1: esferas con números pares: 3 (2, 4, 10) esfera de 5
Probabilidad asociada = 3/5
Urna 2: esferas con números pares: 3 (4, 10, 12) esferas de 9
Probabilidad asociada = 1/3
P(Ambas número par) = (3/5)(1/3) = 1/5
P(B∩A): probabilidad de que ambas esferas sean pares y que el producto de sus números no termine en cero
Urna 1: esferas con números pares menos el 10: 2 (2, 4) esfera de 5
Probabilidad asociada = 2/5
Urna 2: esferas con números pares menos el 10: 2 (4, 12) esferas de 9
Probabilidad asociada = 2/9
P(Ambas número par y producto no fin en cero) = (2/5)(2/9) = 4/45
P(B|A) = (4/45)/(1/5) = 4/9