Question

se tienen 5 ángulos consecutivos alrededor de un punto cuyas medidas se encuentran en progresión aritmética. calcular el máximo valor que entero que puede tomar la razón

Answer 1

Tarea:

Se tienen 5 ángulos consecutivos alrededor de un punto cuyas medidas se encuentran en progresión aritmética. Calcular el máximo valor entero que puede tomar la razón o diferencia "d".

Respuesta:

Puede tomar el valor máximo de 35

Explicación paso a paso:

Empezaré por aclarar que en progresiones aritméticas, la razón a que se refiere el ejercicio yo la llamo diferencia "d" entre términos consecutivos y es el número que se suma a un término para obtener el siguiente.

Lo primero a deducir del texto es que si tenemos 5 ángulos alrededor de un punto, entre los 5 ángulos deberán sumar por fuerza un total de 360º que es el ángulo de una vuelta completa, el ángulo total.

Así pues ya podemos deducir que la suma de los 5 ángulos  (términos de la progresión)  debe darnos esa cantidad de 360º, ok?

A estas alturas sabemos esto:

• Suma de los 5 términos:  Sₙ = 360
• Número de términos:  n = 5
• Primer término:  a₁ = desconocido
• Último término:  a₅ = desconocido
• Diferencia:  d = desconocida

Así  pues, lo primero es acudir a la fórmula de suma de términos de una progresión aritmética:

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Sustituyendo el valor de la suma y despejando...

$S_n=360=\dfrac{(a_1+a_5)*5}{2}\\ \\ \\ 720=(a_1+a_5)*5\\ \\ a_1+a_5=144$

De ahí despejo:  a₅ = 144 - a₁   ... y lo reservo.

Me ayudaré ahora de la fórmula del término general del cualquier progresión artimética que dice:  $a_n=a_1+(n-1)*d$

Sustituiré y despejaré "d" hasta simplificar al máximo:

a₅ = a₁ + (5-1) × d

a₅ = a₁ + 4d

a₅ - a₁ = 4d

d = (a₅ - a₁) / 4

Ahora sustituyo el valor de  a₅ que quedó despejado en la fórmula de la suma de términos de más arriba.

$d=\dfrac{144-a_1-a_1}{4} \\ \\ \\ d=\dfrac{144-2a_1}{4} \\ \\ \\ d=\dfrac{144}{4} -\dfrac{2a_1}{4} \\ \\ \\ d=36-\dfrac{a_1}{2}$

Y ya toca aplicar la lógica.  Nos pide calcular el máximo valor entero que puede tomar la diferencia o razón así que hemos de sustituir el valor de a₁ por un valor tal que al dividirlo por 2 y el resultado restarlo de 36 nos salga el máximo valor entero.

Si decimos que a₁ = 1, tenemos que restar  1/2 = 0,5  de 36 y el resultado es decimal y no es entero. Con ello queda claro que al ser fracción con denominador "2" y pedirnos resultado entero, no podemos tomar valores impares en el numerador que es  a₁ .

Si decimos que a₁ = 2, el cociente 2/2 será 1 y restaremos 1 de 36 quedando 35 como valor entero para "d".

Si decimos que a₁ = 4, el cociente 4/2 será 2 y al restar de 36 el valor entero que nos quedará será 34, es decir, un valor inferior al obtenido antes que era 35.

Con estos razonamientos ya no es necesario seguir probando ya que queda bien claro que el máximo valor entero que puede tomar "d" es 35 y tomando el valor de a₁ = 2

Pero para estar seguros hay que comprobarlo y para ello volveré a las fórmulas anteriores.  Primero calcularé el valor del 5º término  a₅  que sale de aplicar la fórmula del término general:

a₅ = 2 + (5-1) × 35 = 142

Conocido ese dato, acudo a la fórmula de suma de términos para comprobar que dicha suma me dará 360º.

$S_5=\dfrac{(2+142)*5}{2}=\dfrac{144*5}{2} =360$

Así queda comprobado que la diferencia y los valores de los términos son correctos.

Saludos.