se tienen 3 cajas cada una con balotas de diferentes colores tojas verde y azul si de cada caja se estrae una balota
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación: Pues tu pregunta aunque no la formulaste completa y bien entiendo.
Hablas de probabilidad, y creo la pregunta es así si se distribuyen doce bolas entre tres cajas, cual es su probabilidad de que la primera caja contenga 3 bolas?
Depende de cómo se distribuyan.
En este tipo de preguntas se suele suponer que cada bola se distribuye "al azar", es decir, con la misma probabilidad de cada caja. Como hay 3 cajas la probabilidad de caer en cada una es 1/3.
Además, al hablar de "bolas" se suele entender que son indistinguibles.
Las cajas son distinguibles, porque se habla de "la primera". En cada bola hay una probabilidad 1/3 de caer en la primera (éxito) y 2/3 de no caer en esa primera (fracaso). Esto que ocurre en 1 bola es lo que se llama ensayo de Bernoulli.
Cuando se repite un ensayo de Bernoulli n veces, en este caso 12 veces, y se modela la probabilidad del número total de éxitos, tenemos lo que se llama una Distribución Binomial.
La fórmula es:
P(X=x)=(nx)⋅px⋅(1−p)n−x
La multiplicación px⋅(1−p)n−x significa que haya x éxitos y (n−x) fracasos y el coeficiente binomial, es decir, las combinaciones de n elementos tomados de x en x , son las formas de ordenar los x éxitos en los n intentos.
En este caso :
P(X=3)=(123)⋅(1/3)3⋅(2/3)9=
=12⋅11⋅10/6⋅29/312
=55⋅211/312 = 112640 / 531441
= 0.211952… → aproximadamente 21%
=112640531441
Debido a hay 12 bolas y 3 cajas y tocan a 4 bolas por caja, la probabilidad más alta es que haya 4 bolas en la primera caja. Vamos a calcularla.
P(X=4)=(124)⋅(1/3)4⋅(2/3)8=
=12⋅11⋅10⋅9/24⋅28/312
=55⋅28/310 = 11·1280/59049 =1408059049
= 0.238446… → casi 24%
(efectivamente es más probable que tenga 4 bolas)
La Distribución Binomial tiene forma de montaña… primero crece hasta un máximo o dos máximos seguidos, y luego decrece.
Vamos a comprobar que tener 5 bolas es menos probable que tener 4.
P(X=5)=(125)⋅(1/3)5⋅(2/3)7=
=12∗11∗10∗9∗8/120⋅27/312
=99⋅210/312 = (102400–1024)/531441 =101376531441
= 0.19 (efectivamente es menor)
Otra forma de distribuir las bolas sería tomar como equiprobables cada una de las distintas formas de distribuir 12 bolas (indistinguibles) en 3 cajas (distinguibles).
El número de esas formas distintas se puede calcular con Estrellas y Barras.
Las "estrellas" son cada una de las bolas y las "barras" son separadores entre una caja y la siguiente. Son 12 estrellas y 2 barras.
Ej: ***|****|*****
Eso significa 3 bolas, un separador, 4 bolas, siguiente separador y 5 bolas.
El número de formas diferentes es: C(14, 2) = 14·13/2 = 7·13 = 91
El número de esas que tienen 3 bolas en la primera es: C(10,1) = 10
La probabilidad en este caso sería:
p = 10/91 = 0.10989… →casi 11%
Otra forma sería tomar al azar el número de bolas que colocarías en la primera caja considerando equiprobable cada número posible, desde 0 a 12.
En este caso sería 1/13 = 0.0769 →casi 8%
Por último, también podrías colocar el mismo número de bolas en cada caja y en este caso siempre colocarías 4 en cada caja siendo la probabilidad de que haya 3 igual a 0.
Todas estas últimas formas no suelen ser la forma habitual de entender un problema como este.
Lo que se suele entender es lo que hice en primer lugar.
Además, el problema no dice que las bolas tengan el mismo color ni el mismo tamaño ni que sean indistinguibles.
Si son distinguibles el primer planteamiento de Bernoulli y Binomial no cambia.
(Este es otro punto a favor de ese primer planteamiento o interpretación: que no importa sin son distinguibles o no, se hacen los mismos cálculos… así que no decir si las bolas son distinguibles o no apoya aún más esa interpretación).
El segundo planteamiento de distintas formas posibles sí cambiaría:
B2 B3 B7 | B1 B4 B5 B12 | B6 B8 B9 B10 B11
Ntotal = PR(14; 2) = 14! / 2
Nfavorables = (12•11•10) • 9! • 10
p = 10/(14•13/2) = 10/91
Aunque en este segundo planteamiento cambian los cálculos, el resultado es el mismo.
El tercer planteamiento también cambiaría. Si las bolas son distinguibles, entonces las distintas formas de escoger el contenido de la primera caja no son solo 13.
El total sería el número de subconjuntos de el conjunto B = {B1, B2 … B12}, que es el cardinal de las partes de B o conjunto potencia P(B)
Su cardinal es 2^12
El número de subconjuntos con 3 bolas es:
C(12, 3) =(123) = 12·11·10 / 6 = 220
La probabilidad sería :
220 / 4096 = 55 / 1024 = 0.05371… casi 5.4%