se tienen 100m de alambre para cercar un terreno rectangular, ¿cuales sera el largo y ancho del terreno cercado de al menos 600m^2?
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
Disponemos de 100 m. de alambre para valla re un campo rectangular. Calcula las
dimensiones que debe tener dicho campo para que la superficie vallada sea máxima.
Resolución:
Desconocemos las dimensiones del campo, así
que supongamos que mide x m. de largo e y m. de
ancho.
De esta forma, la función que deberemos
optimizar (en este caso, maximizar) será la función área
que, como se trata de un rectángulo es: ),( = ⋅ y x y x A
El problema nos dice que disponemos de 100 metros de alambre para valla re el
campo, luego lo que nos está proporcionando es el perímetro que deberá tener el rectángulo
y, por tanto, una condición que nos relaciona x e y.
+ y x = 10022
Simplificamos para obtener + y x = 50 y despejamos = 50 − xy
Sustituimos en la función área y así ( ) 2 ),( 5050)( −=−=→⋅= x x x xx A y xy xA
Derivamos la función:
−= 250)(' x xA e igualamos a 0 para ver los valores que anulan a la 1ª derivada
x A xx =⇒=−→= 2502500)('
Calculamos ahora la 2ª derivada
x A −= 2)('' , es decir, 0 x A )('' < para cualquier valor de x, en particular para x=25 y, de
esta forma, el valor x = 25 es un máximo para la función.
Si x = 25 está claro que también y = 25 sin más que despejar en la ecuación del
perímetro. El campo tiene pues forma de cuadrado de 25 m. de lado.
25 m.