Question

Se tiene una vara de acero con extremos en A(3;7) y B(21;19). Se quiere dividir en tres partes iguales. Halle las coordenadas del punto más cercano al punto final B.

Answer 1

De los dos puntos que dividen el segmento  AB   en tres partes iguales, el punto  P2 (15, 15)  es el más cercano al extremo final B (21, 19).

Explicación paso a paso:

Sabemos que los puntos P1 y P2 dividen al segmento AB en tres partes iguales. Eso significa que la distancia AP1 y BP2 son iguales, también que AP2 es el doble de AP1 y que BP1 es el doble de BP2.

Llamemos

r1 a la razón en que el punto P1 divide al segmento A (x₁, y₁) B (x₂, y₂).

r1 = AP1/P1B = 1/2 es decir, la razón en que el punto P1 divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP1 y P1B.

Llamemos r2 a la razón en que el punto P2 divide al segmento A (x₁, y₁) B (x₂, y₂).

r2 = AP2/P2B = 2 es decir, la razón en que el punto P2 divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP2 y P2B.

De aquí se deduce la fórmula:

$\bold{r2~=~\dfrac{xP2~-~x_{1}}{x_{2}~-~xP2}}$

De la fórmula podemos despejar xP2

$\bold{xP2~=~\dfrac{r2\cdot x_{2}~+~x_{1}}{1~+~r2}~=~\dfrac{(2)\cdot(21)~+~(3)}{1~+~(2)}~=~15}$

Para hallar  yP2  construimos la ecuación de la recta usando la llamada ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

$\bold{(y~-~y_{1})~=~\dfrac{y_{2}~-~y_{1}}{x_{2}~-~x_{1}}(x~-~x_{1})}$

$\bold{(y~-~7)~=~\dfrac{19~-~7}{21~-~3}(x~-~3) \qquad \Rightarrow \qquad y~=~\dfrac{2}{3}x~+~5}$

$\bold{ yP2~=~\dfrac{2}{3}(15)~+~5 \qquad \Rightarrow \qquad y~=~15}$

Las coordenadas del punto P2 son: (15, 15)

De los dos puntos que dividen el segmento  AB   en tres partes iguales, el punto  P2 (15, 15)  es el más cercano al extremo final B (21, 19).