Question

Se tiene una progresión aritmética de 10 términos. El producto del quinto y el sexto término es 480, y la suma de los términos extremos es 44. Halle el último término de esta progresión en mención

Answer 1

En cualquier progresión aritmética (PA), la suma de dos términos equidistantes es igual a la suma del primero y el último término de la PA. Detalle superimportante que nos permite resolver este ejercicio.

En esta PA en concreto donde la suma de los términos extremos es:

• a₁ + a₁₀ = 44

... ocurre que...

• a₂ + a₉ = 44
• a₃ + a₈ = 44
• a₄ + a₇ = 44
• a₅ + a₆ = 44   ←  aquí está el detalle a considerar.

Porque con eso ya tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y las ecuaciones son:

a₅ × a₆ = 480

a₅ + a₆ = 44

Despejo en la 2ª ... a₆ = 44 - a₅

Sustituyo en la 1ª ... a₅ · (44 - a₅) = 480

Para evitar confusiones con subíndices y superíndices llamaré "x" a "a₅" y tengo esto:

x·(44 - x) = 480

-x² +44x -480 = 0 ... multiplico todo por (-1) ...

x² -44x +480 = 0  ... y se trata de resolver esta ecuación cuadrática con la fórmula general para este tipo de ecuaciones:

$x_1,\ x_2= \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

De donde sale esto:

$x_1,\ x_2=\dfrac{44\pm4}{2} \\ \\ x_1 = 24\\ x_2=20$

$\text{Estos son los t\'erminos}\ \boxed{\bold{a_5=20}}\ \text{y}\ \boxed{\bold{a_6=24}}$

Como se trata de progresión aritmética, la diferencia "d" entre términos consecutivos se deduce de ahí y es:

d = 4

Calculamos el primer término a partir de esos datos con el valor del 5º término a₅=20, la diferencia d=4  y con la fórmula general para cualquier PA:
aₙ = a₁ + (n-1) × d

Despejo  ...  a₁ = 20 - (5-1) × 4 = 20 - 16 = 4

De nuevo con la misma fórmula y sabiendo el valor de a₁=4, calculo el último término  a₁₀  de esta progresión:

a₁₀ = 4 + (10-1) × 4 = 4 + 36 = 40 es la respuesta