Se tiene una progresión aritmética de 10 términos. El producto del quinto y el sexto término es 480, y la suma de los términos extremos es 44. Halle el último término de esta progresión en mención.
a) 32
b)36
c) 44
d) 40
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Es 40
Explicación paso a paso:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
El último término de la progresión aritmética es 40. La opción correcta es la marcada con la letra d).
¿Qué es una progresión aritmética?
Una progresión aritmética es un conjunto de números ordenados en el cual cada término es el resultado de la suma del término anterior y de un número fijo llamado razón.
¿Cuáles son las fórmulas básicas de una progresión aritmética?
Si n es un número natural que representa la cantidad de términos de una progresión, a1 y an el primero y el último término, respectivamente, r la razón y Sn la suma de los términos de la progresión:
an = a1 + r ( n - 1 )
Sn = ( n / 2 ) ( a1 + an )
Vamos a sustituir la información conocida para construir un sistema de ecuaciones:
n = 10 (a5) (a6) = 480 a1 + an = 44
a5 = a1 + 4r
a6 = a1 + 5r
an = a1 + 9r
a1 + an = 44
(a1 + 4r) (a1 + 5r) = 480
Resolvemos por el método de sustitución
a1 + an = 44 de aquí an = 44 - a1
44 - a1 = a1 + 9r de aquí a1 = 22 - (9/2)r
(a5) (a6) = 480 ⇒ (a1 + 4r) (a1 + 5r) = 480 ⇒
[22 - (9/2)r + 4r] [22 - (9/2)r + 5r] = 480 ⇒
[22 - (1/2)r] [22 + (1/2)r] = 480 ⇒ 484 - (1/4)r² = 480 ⇒
(1/4)r² = 4 ⇒ r = 4 ⇒ a1 = 22 - (9/2)(4) = 4
¿Cuál es el último término de la progresión?
an = a1 + 9r ⇒ an = (4) + 9(4) = 40
El último término de la progresión aritmética es 40. La opción correcta es la marcada con la letra d).
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