Question

Se tiene una lámina rectangular de dimensiones a = 40cm por b = 25cm con la cual se desea construir una caja con tapa, aplicando sólo dobleces. A continuación, se muestran algunos trazados realizados en la lámina, que al cortarlos o doblarlos debidamente, por las líneas punteadas, genera la caja. ¿el volumen máximo de la caja es?​

Answer 1

Al resolver el problema se obtiene, que el volumen máximo de la caja es:

19,456 cm³

Una lámina rectangular de dimensiones:

• a = 40 cm
• b = 25cm

se desea construir una caja con tapa, aplicando sólo dobleces:

El volumen de un prisma rectangular es:

V = Ab · h

Sustituir;

Ab = largo × ancho

• largo = 40 - 2x
• ancho = 25 - 2x
• altura = x

sustituir;

V = (40 - 2x)(25 - 2x)(x)

V = (1000 - 80x - 50x + 4x²)(x)

V = x(100 - 130x + 4x²)

V = 100x - 130x² + 4x³

Aplicar derivada;

V' = 100 - 260x + 12x²

Igualar a cero;

12x² - 260x + 100 = 0

Aplicar la resolvente;

x₁,₂ = 260±√[260²-4(12)(100)]/2(12)

x₁,₂ = 260±√[62800]/24

x₁,₂ = 260±20√[157]/24

x₁ = 21,3 cm

x₂ = 0,4 cm

Evaluar x₁ en V;

V = 100(0,4) - 130(0,4)² + 4(0,4)³

Vmax = 19,456 cm³