Se tiene una chacra al costado del río y queremos cercar una parte de forma rectangular;
para ello, contamos con 100 m de cerca. ¿Cuál
será la máxima área que podamos cercar?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La mayor ´area que se puede cercar con estas condiciones es de A = 80 000 m2.
Explicación paso a paso:
El ´area del terreno:
A = xy.
El per´ımetro del terreno:
P = x + 2y = 800 m, seg´un los datos proporcionados.
De aqu´ı obtenemos:
x = 800 − 2y.
Sustituyendo en la f´ormula del ´area:
A(y) = (800 − 2y)y = 800y − 2y2
.
A(y) es la funci´on cuyo m´aximo deseamos calcular.
A0
(y) = 800 − 4y ;
A00(y) = −4 < 0.
La segunda derivada es negativa, el punto cr´ıtico ser´a un m´aximo
A0
(y)=0 ⇒ 800 − 4y = 0 ⇒ y = 800
4 = 200.
Para calcular la longitud del otro lado de terreno (la x), sustituimos:
x = 800 − 2(200) = 400 = 2y.
Por lo tanto, las dimensiones del terreno que nos dan el ´area m´axima son x = 400 & y = 200.
La mayor ´area que se puede cercar con estas condiciones es de A = 80 000 m2.