Question

Se tiene una balanza y cinco pesas de 3, 6, 8, 12 y 16 gramos, respectivamente. Se quieren pesar cantidades comprendidas entre 1 y 33 gramos (ambas incluso). Sin embargo, hay una y solo una cantidad que no se puede pesar con las 5 piezas de que se dispone en una sola pesada. ¿Cuál es la pesada imposible?

Answer 1

La pesada imposible, con las pesas dadas, consiste en pesar un objeto de 32 gramos  

Procedimiento:

Introducción

Hay tres maneras de pesar

1) Con una sola pesa en un platillo

$\boxed { \bold{X}}$     ⇔      $\boxed { \bold{3}}$    

$\boxed { \bold{peso = X = 3 \ g }}$

2) Con varias pesas en un platillo

$\boxed { \bold{X}}$      ⇔    $\boxed { \bold{3, 6 , 12}}$

$\boxed { \bold{peso = X = 3 + 6 +12 = 21 \ g }}$

2) Con pesas en los dos platillos

$\boxed { \bold{X, 3}}$    ⇔    $\boxed { \bold{ 12, 16 }}$

$\boxed { \bold{peso = X = 12+ 16 -3 = 25 \ g }}$

Debemos empezar a buscar todas las combinaciones posibles por sumatoria: con dos pesas, con tres y con cuatro. Teniendo en cuenta las pesas dadas por enunciado. Los valores que no se obtengan se buscarán restando a las combinatorias que se hallen una o más pesas que no estén incluidas

• Entonces se combinarán las pesas de todas las maneras posibles para hallar las cantidades comprendidas entre 1 y 33 gramos, donde se descartarán resultados superiores a 33 y determinar lo que falte

 

El modo más eficaz es emplear un método mixto y sistemático

Pesas del enunciado - Valores solitarios -

$\boxed{\bold { 3 = 3}}$   $\boxed{\bold { 6 = 6}}$   $\boxed{\bold { 8 = 8}}$  $\boxed{\bold { 12 = 12}}$   $\boxed{\bold { 16 = 16}}$

Combinaciones de dos pesas

$\boxed{\bold { 3 + 6= 9}}$       $\boxed{\bold { 6 + 8 = 14 }}$     $\boxed{\bold { 8 + 12 = 20 }}$   $\boxed{\bold { 12+ 16 = 28 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 8= 11}}$     $\boxed{\bold { 6 + 12 = 18 }}$   $\boxed{\bold { 8 + 16 = 24 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 12= 15 }}$   $\boxed{\bold { 6 + 16 = 22 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 16 = 19 }}$

Combinaciones de tres pesas

$\boxed{\bold { 3 + 6 + 8= 17 }}$      $\boxed{\bold { 6 + 8 + 12= 26 }}$    $\boxed{\bold { 8 + 12+ 16= 36 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 6 + 12= 21 }}$    $\boxed{\bold { 6 + 8 + 16= 30 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 6 + 16= 25 }}$    $\boxed{\bold { 6 + 12 + 16= 34 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 8 + 12= 23 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 8 + 16= 27 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 12 + 16= 31 }}$

Combinaciones de 4 pesas        

$\boxed{\bold { 3 + 6 + 8 + 12 = 29 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 6 + 8 + 16 = 33 }}$

$\boxed{\bold { 3 + 8 +12+ 16 = 39 }}$

Nota:  A efectos prácticos se han realizado dos tablas, una para combinaciones de dos pesas en un platillo y la otra combinando tres pesas. Los cuadros estos tienen la utilidad no sólo de determinar todos los valores posibles por adición, también se emplearán como ayuda para establecer valores faltantes

Se encuentran las tablas en un adjunto

Observando las tablas mencionadas y los cálculos anteriores,

Se han obtenido 25 combinaciones válidas de pesadas (habiendo descartado los valores de 34, 36 y 39 por imposición del enunciado)

Que corresponden a los valores

(3, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, y 33)

Estableciendo los valores que faltan

Los valores que nos faltan son ocho

(1, 2, 4, 5, 7, 10, 13, 32)  

Para hallar los valores faltantes tenemos que combinar las pesas en ambos platos de la balanza

1

Si miramos la primera tabla podríamos obtener el 1 como la diferencia de 19 y 18. Luego pondríamos en un platillo de la balanza X + 6 + 12 y en el otro platillo 16 + 3. Esta es una manera, cualquier otro par que no se encuentre en la misma fila o columna nos serviría para ser restado

$\boxed { \bold { X + 6 + 12 = 16 + 3}}$

$\boxed { \bold { X = 16 + 3 -6-12}}$

$\boxed { \bold { X = 1}}$

Otro modo de hallar el 1

$\boxed { \bold { 1 = 3+6-8 } }$

2

Podemos emplear 20 y 22. X + 8 + 12 = 16 + 6

$\boxed { \bold { X + 8 + 12 = 16 + 6}}$

$\boxed { \bold { X = 16 + 6 -8 - 12 }}$

$\boxed { \bold { X = 2 }}$  

Otro modo de hallar el 2

$\boxed { \bold { 2 = 8-6 } }$

4

$\boxed { \bold { 4 =12- 8 } }$

5

$\boxed { \bold { 5 = 8 -3 } }$

7

$\boxed { \bold { 7 = 16-6 -3 } }$

10  

$\boxed { \bold { 10 = 16-6 } }$

13

$\boxed { \bold { 13 = 16-3 } }$

32

32 debe ser adición o sustracción de pesas pares

$\boxed { \bold { 32 = 12 + 16 + 4 \ g } }$

No hay modo de obtener 4, sin las pesas de 12 y 16, que están siendo utilizadas, puesto que 4 = 16 - 12 ó  4 = 12 - 8

Sólo se puede combinar

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 8 -x } }$

ó

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 6 -x } }$

x = pesas disponibles

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 8 -x } }$  

Pesas de 3 y 6

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 8 -3 = 33 } }$

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 8 -6 = 30 } }$

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 6 -x } }$

Pesas de 3 y 8

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 6 -3 = 31 } }$

$\boxed { \bold { 12 + 16 + 6 -8 = 26 } }$

No resulta el valor buscado

Concluyendo que la pesada imposible es la de 32 g