Question

Se tiene un globo inflado con helio atado con una cuerda al piso de un campo. Si un viento empuja al globo 30 m horizontalmente y si la cuerda que lo sostiene mide 50 m, calcule a qué altura del piso queda el globo.

Answer 1

La altura a la que se encuentra el globo es de 40 metros

Se trata de un problema pitagórico en un triángulo rectángulo.

Donde no es necesario emplear el teorema de Pitágoras para su resolución

Dado que el triángulo rectángulo dado que representa el problema resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

Donde a partir de la proporción de dos de sus lados se puede calcular su tercer lado, como así también sus dos ángulos agudos internos

Pudiendo afirmar que conocidas las dimensiones de un cateto y la hipotenusa el cateto que representa a que altura se encuentra el globo será de 40 metros

Se demostrará esta afirmación en el desarrollo del ejercicio

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo  y resolución del ejercicio.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del globo, el lado BC que representa el desplazamiento horizontal del globo por el viento y el lado AC que es el largo de la cuerda que sostiene al globo

En donde por lo explicado anteriormente al cateto que representa a la altura en donde se halla el globo se le opone un ángulo de 53° y al cateto que representa el desplazamiento del globo por el viento  se le opone un ángulo de 37°

Y estando sus lados en una relación de 3 y 4, donde la hipotenusa medirá 5

Solución

Hallamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold {desplazamiento\ del \ globo =30\ metros = 3k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 3k = 30 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 30 \ metros }{3 } }}$

$\boxed{\bold { k = 10 }}$

El valor de la constante k es 10

Aunque no es necesario haremos lo mismo para la hipotenusa que representa el largo de la cuerda de la cual conocemos su valor

$\boxed{\bold {largo\ de \ la \ cuerda =50\ metros = 5k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 5k = 50 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 50 \ metros }{5 } }}$

$\boxed{\bold { k = 10 }}$

El valor de la constante k es 10

Si el otro cateto que representa a la altura desde el piso donde se encuentra el globo está en una proporción de 4k

$\boxed{\bold {altura\ del \ globo = 4k }}$

Reemplazamos a la constante k

$\boxed{\bold { altura\ del \ globo = 4 \ . \ 10 }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ del \ globo = 40 \ metros }}$

Verificación

Empleando el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Hallando la longitud del cateto que representa a la altura del globo "a"

En donde el cateto "b" y la hipotenusa "c" son las dimensiones del desplazamiento horizontal del globo y de la longitud de la cuerda respectivamente

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = c^{2} \ - \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 50^{2} \ - \ 30^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 2500 \ - \ 900}}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 1600}}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{1600} }}$

$\boxed {\bold { a = \sqrt{1600} }}$

$\boxed {\bold { a = \sqrt{40^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { a = 40 \ metros }}$

La altura a la que se encuentra el globo es de 40 metros