Question

Se tiene un cuadrado de área x² + 16x + 64 cm² y un rectángulo cuya área es 9x² – 36 cm2, si se sabe que sus perímetros son iguales ¿Cuánto miden los lados del cuadrado y del rectángulo?​

Answer 1

Respuesta:

Respuesta: Cada lado del cuadrado mide 12.46 cm

La base del rectángulo mide 9 cm.  La altura del rectángulo mide 15.93 cm

Explicación paso a paso:

Trabajemos primero con el área del cuadrado. Si dicha área es el resultado del producto de lado x lado, o lado al cuadrado, entonces, obtenemos la raíz cuadrada del polinomio que nos da el ejercicio y así conoceremos el lado:

$\sqrt{x^{2}+16x-32}$

Factorizamos el polinomio: $\sqrt{(x+8)^{2}}=x+8$  porque el exponente cancela la raíz.

O sea que cada lado del cuadrado es x+8

Trabajemos ahora con el área del rectángulo. La fórmula es b*a. Si el área es $9x^{2}-36$ podemos factorizar dicha expresión y tomar un factor como base y el otro como altura:

$9x^{2}-36=9(x^{2}-4)$

Asumamos que la base es 9 y que la altura es $x^{2}-4$

Ahora trabajemos con los perímetros, puesto que si son iguales, podemos establecer una relación entre ellos y de ahí despejar el valor de x.

El perímetro del cuadrado es 4 veces el lado. El perímetro del rectángulo es 2 veces un lado más dos veces el otro lado:

Perímetro del cuadrado: 4(x+8) = 4x+32

Perímetro del rectángulo:

$2*9+2(x^{2}-4)\\18+2x^{2}-8$

$2x^{2}+10$

Igualemos los perímetros: $4x+32=2x^{2}+10$

Operamos, ordenamos e igualamos a cero, para luego calcular el valor de x:

$2x^{2}-4x-22=0$

Resolvemos mediante la fórmula general:

$x=\frac{-(-4)+\sqrt{(-4)^{2}-4*2(-22})}{2*2}=4.4641$

Ahora que sabemos que x=4.4641 reemplazamos en los respectivos lados:

Cuadrado: x+8, por tanto: 4.4641+8=12.4641

Rectángulo: Base = 9.    

Altura: $x^{2}-4$, por tanto $4.4641^{2}-4=19.9282-4=15.9282$

Altura del rectángulo: 15.9282

PRUEBA. Verifiquemos si los perímetros son iguales:

4*12.4641=18+2*15.9282  Operamos y obtenemos:

49.85=49.85

Respuesta: Cada lado del cuadrado mide 12.46 cm

La base del rectángulo mide 9 cm.  La altura del rectángulo mide 15.93 cm