se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ah de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del circulo y del cuadrado sea mínima.
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Respuestas a la pregunta
Sea L el lado del cuadrado y r el radio del círculo.
El perímetro de los dos: P = 4 L + 2 π r = 1 m
El área de los dos: S = L² + π r²
Despejamos L de la primera y la reemplazamos en la segunda
L = 1/4 (1 - 2 π r)
S = [1/4 (1 - 2 π r)]² + π r²; quitamos paréntesis u reducimos términos.
S = π/4 (π + 4) r² - π r/4 + 1/16
Una función es mínima en los puntos de primera derivada nula y segunda positiva.
S' = π/2 (π + 4) r - π/4
S'' = π/2 (π + 4(, positiva. Hay mínimo en S' = 0
π/2 (π + 4) r - π/4 = 0
r = 1 / [2 (π + 4)] ≅ 0,07 m = 7 cm
L = 1/4 (1 - 2 π . 0,07) ≅ 0,14 m = 14 cm
La superficie mínima es:
S = 14² + π . 7² ≅ 350 cm²
Adjunto dibujo S función del radio en centímetros cuadrados.
Mateo
El alambre se tiene que cortar en un trozo de 0,44 metros para formar el círculo y en otro trozo de 0,56 metros para formar el cuadrado.
Explicación paso a paso:
Tenemos que plantear la suma de las áreas del círculo y del cuadrado, llamando A al trozo que corresponde al círculo y B al trozo que corresponde al cuadrado.
Ahora hacemos otro cambio tomando en cuenta que es B=1-A:
Ahora tenemos que derivar la ecuación e igualarla a cero para hallar el valor de A donde la suma de las áreas es mínima:
Esta es la longitud del trozo que se corta para hacer el círculo, ahora la longitud del trozo que se corta para el cuadrado es: