se tiene el segmento de recta que une A(-1,2) con B(3,4).
a) encuentre una ecuación que exprese el hecho que un punto P(x,y) sea equidistante de A y de B.
b) defina geometricamente el conjunto de puntos que describe la ecuacion del inciso a)
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17
Sea (x, y) el conjunto de puntos buscado.
a) Distancia a A: √[(x + 1)² + (y - 2)²]
Distancia a B: √[(x - 3)² + (y - 4)²]
Si son iguales, sus cuadrados también.
(x + 1)² + (y - 2)² = (x - 3)² + (y - 4)²; quitamos paréntesis
x² + 2 x + 1 + y² - 4 y + 4 = x² - 6 x + 9 + y² - 8 y + 16
Cancelamos términos cuadráticos.
2 x + 1 - 4 y + 4 = - 6 x + 9 - 8 y + 16; reducimos:
8 x + 4 y - 20 = 0; o bien 2 x + y - 5 = 0
Es una recta cuyos puntos equidistan de A y de B
b) Esta recta se llama mediatriz del segmento. Es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. Verificamos este punto.
x = (3 - 1) / 2 = 1; y = (4 + 2) / 2 = 3
El punto medio es P (1, 3); pertenece a la mediatriz: 2 . 1 + 3 - 5 = 0
Se adjunta gráfico con las conclusiones.
Saludos Herminio
a) Distancia a A: √[(x + 1)² + (y - 2)²]
Distancia a B: √[(x - 3)² + (y - 4)²]
Si son iguales, sus cuadrados también.
(x + 1)² + (y - 2)² = (x - 3)² + (y - 4)²; quitamos paréntesis
x² + 2 x + 1 + y² - 4 y + 4 = x² - 6 x + 9 + y² - 8 y + 16
Cancelamos términos cuadráticos.
2 x + 1 - 4 y + 4 = - 6 x + 9 - 8 y + 16; reducimos:
8 x + 4 y - 20 = 0; o bien 2 x + y - 5 = 0
Es una recta cuyos puntos equidistan de A y de B
b) Esta recta se llama mediatriz del segmento. Es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. Verificamos este punto.
x = (3 - 1) / 2 = 1; y = (4 + 2) / 2 = 3
El punto medio es P (1, 3); pertenece a la mediatriz: 2 . 1 + 3 - 5 = 0
Se adjunta gráfico con las conclusiones.
Saludos Herminio
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