Question

Se suman en orden las fracciones cuyo denominador es la multiplicacion de dos enteros consecutivos por ejemplo 6=2×3, 12=3×4. Los puntos suspensivos indican que hay que seguir sumando las fracciones de este tipo hasta la ultima mostrada . Hallar el resultado de la operacion (1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+.....+1/9900)×300=?

Answer 1

PREGUNTA

Se suman en orden las fracciones cuyo denominador es la multiplicación de dos enteros consecutivos por ejemplo 6=2×3, 12=3×4. Los puntos suspensivos indican que hay que seguir sumando las fracciones de este tipo hasta la última mostrada . Hallar el resultado de la operación (1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+.....+1/9900)×300=?

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SOLUCIÓN

۞ HØlα!! ✌

Para resolver este ejecicio utilizaremos el siguiente artificio

                                       $\boxed{\mathrm{\boldsymbol{\dfrac{1}{n(n+1)}= \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1}}}}$

Entonces en el problema

           $\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+...+\dfrac{1}{9900}\right)\times 300\\\\\\\left(\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+...+\dfrac{1}{99\times100}\right)\times 300\\\\\\\mathrm{Aplicamos\: el\: artificio}\\\\\\\left(\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+...+\left(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)\right) \times 300\\\\\\\mathrm{Eliminamos\: los \: par\'entesis}$

        $\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right) \times 300\\\\\\\mathrm{Simplificamos}\\\\\\\left(1-\dfrac{1}{100}\right) \times 300\\\\\\\dfrac{99}{100} \times 300\\\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{297}}}$