Question

¿Se sabe que pi^4/90= 1^−4 + 2^−4 + 3^−4 + · · · ¿Cuántos términos se deben tomar para calcular pi^4/90 con un error a lo más de 1,2 10^−6?

Answer 1

Para obtener el valor de $\frac{\pi^4}{90}$ con el error máximo solicitado, hay que tomar al menos 66 términos de la serie de potencias.

¿Cómo hallar el último término que debería tomarse?

Primero debemos encontrar un patrón en la serie de potencias que permite hallar $\frac{\pi^4}{90}$. Luego de observar la serie, llegamos a que su expresión es:

$\frac{\pi^4}{90}=\sum^{\infty}_{i=1}=\frac{1}{n^{4}}$

Como la serie es convergente, podemos hallar la siguiente expresión para el error de truncamiento R:

$R\leq \frac{1}{n^4}$

Es decir, tenemos que hallar el valor de n tal que el valor del término an sea menor que el error que pretendemos:

$\frac{1}{n^4}\leq 1,2\times 10^{-6}\\\\n^4\geq \frac{1}{1,2\times 10^{-6}}\\\\n\geq \sqrt[4]{\frac{1}{1,2\times 10^{-6}}}\\\\n\geq 30,21$

Esto nos dice que tenemos que tomar por lo menos 31 términos para que el error sea menor que el pretendido. El valor dado por la calculadora y considerado exacto es 1,0823232337. El valor hallado tomando 31 términos es 1,0823125744, el error cometido es 1,0823232337-1,0823125744=0,0000106593.

No llegamos al error pretendido, tenemos que tomar más términos. El error resulta ser de 0,00000119 al tomar hasta el término 66.

Aprende más sobre series de potencias en https://brainly.lat/tarea/10878301