Se sabe que la viscosidad de la lava decrece
exponencialmente con la temperatura. Para la lava Dacita, por
ejemplo, la viscosidad a 800
C es de 108 Pa·s, y de 106 Pa·s
cuando la temperatura es 1200
C. Ac ́a, Pa se refiere a Pascales,
y Pa·s es la unidad SI de viscosidad.
Defina variables y halle un modelo matem ́atico para la
viscosidad de la Dacita en funci ́on de su temperatura.
Calcule y escriba el significado de la inversa de la funci ́on
hallada en la pregunta anterior.
Respuestas a la pregunta
Sea V la viscosidad a la temperatura t, Vo es la viscosidad a 0°C
La función que modela un decaimiento exponencial tiene la forma:
V = Vo . e^(- k t)
k es una constante a determinar. Según los datos:
108 = Vo . e^(- 800 k)
106 = Vo . e^(- 1200 k)
Dividimos las dos expresiones: (se cancela Vo)
108 / 106 = e^[- 800 k - (- 1200 k)]
108 / 106 = e^(400 k); aplicamos logaritmos naturales:
Ln (108 / 106) = 400 k . Ln(e); Ln(e) = 1
k = Ln(108/106) / 400 = 4,673 . 10⁻⁵ (su unidad es 1/°C)
El modelo matemático: V = Vo e^(-4,673 . 10⁻⁵ t)
Podemos hallar Vo
108 = Vo . e^(-4,673. 10⁻⁵ . 800) = 0,9633 . Vo
Vo = 108 / 0,9663 = 112 Pa s
Finalmente:
V = 112 . e^(-4,673 . 10⁻⁵ t)
La inversa responde a qué temperatura la viscosidad tiene cierto valor. Debemos despejar t
- 4,673 . 10⁻⁵ t = Ln(V/112)
t = Ln(V/112) / (- 4,673 . 10⁻⁵)
t = - 2,14 . 10⁴ Ln(V/112)
Por ejemplo: ¿a qué temperatura la viscosidad es 100 Pa s?
t = - 2,14 . 10⁴ Ln(100/112) ≅ 2425°C
Mateo