Question

Se sabe que el área de la plaza cívica es de 500m²; además, la longitud es de 5m mayor que el ancho. Determina la ecuación cuadrática que represente dicha área y las medidas del largo y ancho.

Answer 1

La ecuación cuadrática que representa el área de la plaza es:

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 5x - 500 = 0 }}$

El ancho de la plaza es de 20 metros y  el largo de 25 metros

Solución

Se desea hallar las medidas del largo y del ancho de una plaza cívica, la cual es rectangular

De la cual conocemos su área y que su longitud es 5 metros mayor que su ancho

Se debe determinar también la ecuación cuadrática que represente a su área

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Donde

Llamaremos variable x a su ancho

$\large\textsf{Ancho = x }$

y sabiendo que el largo es 5 metros mayor que el ancho será (x+5)

$\large\textsf{Largo = (x + 5) }$

Conocemos el valor del área de la plaza rectangular que es de 500 m²

$\large\textsf{\'Area = 500 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { 500= (x+5) \ . \ x }}$

$\boxed {\bold { (x+5) \ . \ x = 500 }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ x \ +\ 5x = 500 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 5x = 500 }}$

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 5x - 500 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 5x - 500 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -500 y la suma es 5 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -20 , \ 25 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -20 ) (x+25) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -20 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 20 }}$

$\boxed{ \bold{x + 25 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -25 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-20)(x+25) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 20, - 25 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =5 y c = -500 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -5 \pm \sqrt{ 5^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -500) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -5 \pm \sqrt{25- 4\ . \ -500 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -5 \pm \sqrt{25+ 2000 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -5 \pm \sqrt{2025 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -5 \pm \sqrt{45^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -5 \pm45 }{2 } }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 20, - 25 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 20 \ cm }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Ancho = x }$

$\large\textsf{Ancho = 20 metros }$

$\large\textsf{Largo = (x + 5) }$

$\large\textsf{Largo = (20 + 5) = 25 metros }$

Sabiendo que el área de la plaza rectangular es de 500 metros cuadrados

Luego el ancho de la plaza es de 20 metros y  el largo de 25 metros

Verificación

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Reemplazamos valores

$\boxed{\bold {500\ m^{2} = 25 \ m \ . \ 20 \ m }}$

$\boxed{\bold {500\ m^{2} = 500 \ m^{2} }}$

Se cumple la igualdad