Question

Se requiere garantizar una corriente continua en todo momento en un circuito eléctrico. La función que determina la intensidad I8t) en función del tiempo t
I(t)=(a+t) 0 < t ≤ 1
(-3a+b) 1 < t ≤ 3
(2b-t^2) t > 3
Halle el valor de a y b de tal forma que se garantice el flujo de corriente continua en todo momento de funcionamiento del circuito.

Answer 1

Recordemos que para que exista un límite se tiene que cumplir lo siguiente:

                                             $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}} f(x)}}}$

Para garantizar que la función que determina la intensidad sea continua analizaremos los límites en los puntos de ruptura de la función.

   ✅ Para que  $\mathsf{\lim\limits_{t \rightarrow 1} I(x)}$ exista se tiene que cumplir que:

                                                $\mathsf{\lim\limits_{t \rightarrow 1^+} I(x)=\lim\limits_{t \rightarrow 1^-} I(x)}$

                                            $\mathsf{\lim\limits_{t \rightarrow 1^+} (a+ t)=\lim\limits_{t \rightarrow 1^-} (-3a+b)}$

                                                      $\mathsf{a + 1 = -3a + b}$

                                                            $\mathsf{ 1 = -2a + b}$

                                                        $\boxed{\mathsf{ b-2a = 1}}.......(1)$

   ✅ Para que  $\mathsf{\lim\limits_{t \rightarrow 3} I(x)}$ exista se tiene que cumplir que:

                                                 $\mathsf{\lim\limits_{t \rightarrow 3^+} I(x)=\lim\limits_{t \rightarrow 3^-} I(x)}$

                                        $\mathsf{\lim\limits_{t \rightarrow 3^+} (-3a+b)=\lim\limits_{t \rightarrow 3^-} (2b-t^2)}$

                                                  $\mathsf{-3a+b = 2a - (3)^2}$

                                                    $\mathsf{ -a + b = -9}$

                                                     $\boxed{\mathsf{a -b =9}}........(2)$

    Sumamos las ecuaciones (1) y (2)

                                                  $\mathsf{\:\:b - 2a = 1}\\\mathsf{\:\:\:\:a - b = 9}\\\mathsf{\dfrac{\hspace{2.2 cm}}{~}}\\\mathsf{-2a + a = 10}$

                                                          $\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-a = 10}$

                                                      $\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{a = -10}}}}$

   Reemplazamos "a" en (2) para hallar "b"

                                                      $\mathsf{a -b =9}\\\\\mathsf{(-10) -b =9}\\\\\mathsf{-10 -b =9}\\\\\mathsf{b =-10-9}\\\\\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{b =-19}}}}$

                                                                                                            〆ʀᴏɢʜᴇʀ ✌