Question

Se requiere cercar un corral de forma rectangular, utilizando una barda de piedra como uno de los lados más largos del rectángulo, para realizar el trabajo se cuenta con un rollo de malla ciclónica de 1000 metros de longitud. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del corral? ¿Cuál es el área máxima que se puede cercar

Answer 1

Respuesta:

:

1 lado de Largo: 500 metros. 2 Lados del ancho, cada uno 250 metros

Explicación paso a paso:

Para este problema de optimización vamos a usar la derivada

Se dispone de 1000 metros. Es un terreno rectangular, al lado opuesto al río lo consideramos el largo del terreno y lo denominaremos Y. A los otros lados los consideramos el ancho y los denominamos X a cada uno de ellos.

Como sólo cercaremos 3 lados, tenemos 2X + Y = 1000 (1)

El área del rectángulo es Largo x Ancho, entonces A = X*Y (2)

Despejamos Y en (1) para trabajar con una sola variable

Y= 1000 – 2X

Sustituimos Y en (2)

A= X*(1000-2X)

A=1000X-2X^{2}A=1000X−2X

2

Por tratarse de área máxima, usamos la derivada. Tenemos una función:

A'_{(X)}=1000-2(2X)^{2-1}A

(X)

′

=1000−2(2X)

2−1

A'_{(X)}=1000-4XA

(X)

′

=1000−4X

Ahora igualamos a cero:

0=1000-4X

Pasamos -4X al otro lado, a sumar

0+4X = 1000

4X=1000

X=1000/4

X= 250. Hemos encontrado la raíz

Para encontrar el máximo usamos la segunda derivada del área:

A''_{(X)}=0-4=-4A

(X)

′′

=0−4=−4

Dio menor que cero, es decir se trata de un máximo

A''_{(250)}=-4A

(250)

′′

=−4

Tenemos un máximo. Vamos a la fórmula inicial y sustituimos:

A= X*(1000-2X)

A=250(1000-2*250)

A=250(1000-500)

A=250(500)

A= 125000m2

Para obtener las dimensiones de la cerca:

125000=(250 x L)

L=125000/250

L=500

La cerca debe tener de largo 500 y de ancho (c/u de los lados) 250 m

Si el largo mide 500 y cada uno de los otros dos lados miden 250, el total son 500+500 = 1000 metros, que son los que el ganadero tiene de malla ciclónica