Question

Se quiere seleccionar un comité de 5 personas de un conjunto de 7 mujeres y 6 varones. ¿cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por 2 mujeres?.

Answer 1

La probabilidad de que ocurra un suceso concreto se calcula dividiendo los casos favorables  (los que cumplen la condición exigida)  entre los casos posibles que son todos lo sucesos que se pueden dar.

En este ejercicio empezamos por calcular los casos favorables que serán todas las maneras en que haya 2 mujeres en el comité y para ello usaremos dos veces el modelo combinatorio siguiente:

COMBINACIONES DE 7 ELEMENTOS (7 mujeres) TOMADOS DE 2 EN 2

$C_7^2=\dfrac{7!}{2!\times(7-2)!} =\dfrac{7\times6\times5!}{2\times1\times5!} =\dfrac{7\times6}{2} =21$

Tenemos 21 maneras de combinar a las 7 mujeres en grupos de 2

Y hacemos lo mismo con los hombres que serán tomados de 3 en 3 ya que el comité contará con 5 personas.

COMBINACIONES DE 6 ELEMENTOS (6 hombres) TOMADOS DE 3 EN 3

$C_6^3=\dfrac{6!}{3!\times(6-3)!} =\dfrac{6\times5\times4\times3!}{3\times2\times1\times3!} =\dfrac{120}{6} =20$

Tenemos 20 maneras de combinar los 6 hombres en grupos de 3

Ahora hay que entender que a cada grupo de dos mujeres podemos asociar cada uno de los grupos de tres hombres así que para saber las maneras en que pueden salir los comités de 5 personas donde dos de ellas sean mujeres, hay que multiplicar ambos resultados.

Sucesos favorables = 21 × 20 = 420

Los sucesos posibles que pueden darse salen de:

COMBINACIONES DE 13 ELEMENTOS  (7 mujeres + 6 hombres) TOMADOS DE 5 EN 5

$C_{13}^5=\dfrac{13!}{5!\times(13-5)!} =\dfrac{13\times12\times11\times10\times9\times8!}{5\times4\times3\times2\times1\times8!} =\dfrac{1235520}{120} =10.296$

Sucesos posibles = 10.296

Y solo queda dividir tal como expliqué al principio para saber la probabilidad:

P = 420 / 10296 = 0,0408   (aproximando en las diezmilésimas)

Pasado a porcentaje se hace multiplicando por 100:

0,0408 × 100 = 4,08%