Question

Se quiere medir el ancho de un río. Para ello se observa un árbol que está en la otra orilla a la parte más alta y se obtiene un ángulo de elevación de 55º. Alejándose 5m del río en la misma dirección del árbol se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtiene 42º. Calcula el ancho del río y la altura del árbol.
ayuda por favor ​

Answer 1

El ancho del río es de 8.53 metros

La altura h del árbol es de 12.18 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del árbol -situado en la otra orilla-, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta la base del árbol -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador se alejó desde una de las orillas del río 5 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" y es la que representa el ancho del río- y el lado AB es la proyección visual hasta la parte superior del árbol visto con un ángulo de elevación de 42°

El triángulo rectángulo ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del árbol, el lado DC que es la distancia desde el observador -ubicado en el otro punto de avistamiento- en una de las orillas del río- hasta la base del árbol antes de haber retrocedido en línea recta desde allí 5 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x" la cual determina el ancho del río. Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hasta la cima del árbol visto con un ángulo de elevación de 55°

Donde se pide hallar:

El ancho x del río

La altura h del árbol

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" será la distancia a hallar desde una orilla del río hasta la base del árbol

Hallado el valor de ”x” sabremos el ancho del río

Y dónde la incógnita "h" será la altura del árbol

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" del árbol el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el árbol son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

En donde la altura "h" del árbol es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano horizontal o del suelo, y nos piden hallar el ancho del río y la altura del árbol emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar las incógnitas

Hallamos la distancia x - ancho del río-

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (55^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(55^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (42^o) = \frac{h}{x +5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 5) \ . \ tan (42^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(55^o)= (x + 5) \ . \ tan(42^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(55^o) = x \ . \ tan(42^o) +5\ . \ tan(42^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(55^o) - x \ . \ tan(42^o) =5 \ . \ tan(42^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ (tan(55^o) - \ tan(42^o) )=5\ . \ tan(42^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 5\ . \ tan(42^o) }{ tan(55^o) - \ tan(42^o) } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 5\ . \ 0.900404044298 }{ 1.428148006742 -0.900404044298 } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 4.50202022149 }{ 0.527743962444} }}$

$\boxed { \bold {x = 8.53069 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {x = 8.53\ metros }}$

El ancho del río es de aproximadamente 8.53 metros

Hallamos la altura del árbol

Si

$\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(55^o)}}$

y

$\boxed { \bold {x = \frac{ 5\ . \ tan(42^o) }{ tan(55^o) - \ tan(42^o) } }}$

Reemplazando

$\boxed { \bold {h = \frac{ 5 \ . \ tan(42^o) \ .\ tan(55^o) }{ tan(55^o)- \ tan(42^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 5 \ . \ 0.900404044298 \ .\ 1.428148006742 }{ 1.428148006742 -0.900404044298 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 6.429551205633 }{ 0.527743962444 } }}$

$\boxed { \bold {h = 12.18308\ metros }}$

$\large\boxed { \bold {h = 12.18\ metros }}$

La altura h del árbol es de aproximadamente 12.18 metros

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación