Question

Se quiere instalar un teleférico entre los puntos A y B más altos dedos montañas de108m y 144 m de altura, respectivamente. Para calcular la longitud del cable necesario para unir ambos puntos, un ingeniero mide el ángulo que forma el segmento AB con la horizontal, obteniendo una medida de 32°. Calcular la longitud de uno de los cables necesarios para la instalación del teleférico. a. Se restan las alturas de las montañas para determinar el cateto opuesto al ángulo de 32°, es decir determinar el valor de BC b. Se halla el valor de L, por medio de una función trigonométrica c. Cuál es la medida del cable necesario para la instalación del teleférico, es decir L

Answer 1

A) El valor del segmento BC es de 36 metros. B) La razón trigonométrica empleada para la resolución del ejercicio es el seno del ángulo dado. C) La longitud (L) de cable necesario para unir las dos cimas de ambas montañas es de aproximadamente 67,93 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

A) Determinando la diferencia de altura entre las dos montañas para conocer el valor del segmento BC

Si observamos el gráfico adjunto vemos que el punto A se encuentra sobre la cima de la montaña A que resulta ser la de menor altura. y desde ese punto A se llega con un ángulo de elevación de 32° hasta el punto B el cual se encuentra en la cima de la montaña de mayor altitud.

En ese mismo gráfico que se ha adjuntado a este ejercicio vemos un segmento BC del cual necesitamos calcular su longitud.

Ello se debe a que debemos conocer la medida que tiene la montaña B desde el inicio de la línea de proyección horizontal trazada para equipararla sobre esa línea con la cima de la montaña A que tiene menor altura.

Para conocer el valor del segmento BC debemos hallar la diferencia de altura entre las dos montañas, por lo tanto debemos restar a la altitud de la montaña B la altura de la montaña A,              

Luego

$\boxed {\bold {Altura \ Monta\~na \ B \ - Altura \ Monta\~na \ A = \ BD \ - \ CD = \ BC }}$

$\boxed {\bold { \ BD \ - \ CD = \ BC \ \ \to \ \ 144 \ m- 108 \ m \ = \ 36 \ metros }}$

$\boxed {\bold { BC \ = \ 36 \ metros }}$

La longitud de BC es de 36 metros

B) Se hallará la longitud del cable (L) empleando razones trigonométricas. Veremos en este apartado la razón trigonométrica que se utilizará

Ahora que hallamos el valor de BC, vamos a trabajar con las razones trigonométricas.

Donde

Se ha conformado un imaginario triángulo rectángulo que está configurado por el lado BC  que equivale a la altura de la montaña B desde la línea de proyección horizontal, el lado AB (hipotenusa) que representa la distancia entre la cima de las dos montañas y a la vez la longitud que tendrá el cable para la instalación del teleférico con un ángulo de elevación de 32°, y el lado AC que es la línea de proyección horizontal.  

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la altura de la montaña B desde la linea de proyección horizontal (lado BC) y el ángulo de elevación de 32°que conforma el segmento ó lado AB con respecto a la línea horizontal  

• Altura de la montaña B desde la línea horizontal -segmento BC - = 36 m

• Ángulo de elevación = 32°

• Debemos hallar la distancia entre las cimas de las dos montañas, que a la vez será la longitud (L) del cable necesario para unir los dos puntos -lado ó segmento AB -

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (segmento ó lado BC) y la hipotenusa (segmento ó lado AB)

Como conocemos el valor del cateto opuesto (BC) y de un ángulo de elevación de 32°, que conforma el segmento o lado AB (hipotenusa) con la horizontal. Donde AB representa la distancia entre las cimas de ambas montañas y también la longitud del cable de unión,  podemos relacionar los datos que tenemos con el seno del ángulo

Por lo tanto se hallará la longitud (L) del cable necesario para unir los dos puntos empleando la razón trigonométrica seno de α

C) Hallando la medida o longitud del cable (L) necesario para unir los dos puntos de las cimas de las montañas  e instalar el teleférico

$\boxed{ \bold { sen(32)\° = \frac{cateto \ opuesto}{hipotenusa } = \frac{BC}{AB} }}$

$\boxed{ \bold { sen(32)\° = \frac{diferencia \ de \ altura}{longitud \ del \ cable } = \frac{BC}{AB} }}$

$\boxed{ \bold {longitud \ del \ cable \ (AB) = \frac{diferencia \ de \ altura \ (BC)}{sen(32)\° } }}$

$\boxed{ \bold {longitud \ del \ cable \ (AB) = \frac{36 \ metros }{sen(32)\° } }}$

$\boxed{ \bold {longitud \ del \ cable \ (AB) = \frac{36 \ metros }{ 0,5299192642332 } }}$

$\boxed{ \bold {longitud \ del \ cable \ (AB) \approx 67,93487 \ metros }}$

$\boxed{ \bold {longitud \ del \ cable \ (AB) \approx 67,93 \ metros }}$

La longitud de cable necesario es de aproximadamente 67,93 metros