Question

Se quiere fabricar una caja sin tapa con base cuadrada, de capacidad de 12 pies cúbicos;
a. Encuentre una función que modele el área superficial de la caja.
b. Encuentre las dimensiones de la caja que reduzcan al mínimo la cantidad de material utilizado.

Answer 1

Datos:

V = 12 ft³

Caja cuadrada sin tapa.

A)     El área de la caja es:

A = Área de base + 4(h x l)

Como es cuadrada, entonces la base se eleva al cuadrado la magnitud del lado (l).

Área de Base = l²

Quedando la expresión para las dimensiones de la caja:

A = l²+ 4(h x l)

B)     Para hallar las dimensiones se parte de la fórmula del volumen (V).

V = l² x h

Despejando la altura (h).

h = V/l²

Pero V = 12 ft³

h = 12 ft³/ l²

Ahora se sustituye en la fórmula del área.

A = l² + 4(12/l² x l)

A = l² + (48/l)

Para que sea con el mínimo material posible se debe aplicar la derivada de la formula e igualarla a cero (0).

A’ = l²’ + (48/l)’

Derivando e igualando a cero.

0 = 2l³ + 48(-1/l²)

0 = (2l³ - 48)/l²

Quedando:

0 = 2l³ - 48

Despejando l:

l³ = 48/2

l³ = 24

l = $\sqrt[3]{24}$ = 2,884499 ft

l = 2,884499 ft

Ahora se calcula la altura (h).

h = 12 ft³/ l²

h = 12 ft³/(2,884499 ft)² = 12 ft³/8,320334 ft² = 1,44225 ft

h = 1,44225 ft