Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de dicha pista sea de 200 m, hallar las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular.
Respuestas a la pregunta
Todo rectángulo está compuesto de dos lados de longitud (L) cada uno denominada largo y de dos lados de menor dimensión de longitud (a) denominado ancho o altura cada uno.
El Perímetro (P) de un rectángulo es la sumatoria de todos sus
lados o longitudes.
P = L + L + a + a (1)
P = 2L + 2a (2)
P = 2 (L + a) (3)
Con el dato aportado que el perímetro es de 200 metros, se debe calcular cada segmento del mismo.
Generalmente el ancho o altura es la mitad del largo o el largo es dos veces el ancho, expresado en fórmula se tiene:
a = (1/2) L o L = 2a (4)
Por consiguiente, si se conoce el perímetro la formula se despeja de la siguiente manera:
P = 2 (L + a) => L + a = P/2 (5)
Pero si se utilizan los argumentos de la expresión (4); entonces se tiene:
2a + a = P/2 => 3a = P/2 => a = P/(3 x 2) (6)
a = 200 m/6 = 33,333 m => a = 33,33 m
El ancho o altura es de 33,33 metros.
Ahora se sustituye en la expresión (4), quedando:
L = 2a = 2(33,33) m = 66,66 m => L = 66,66 m
El largo de la cancha es de 66,66 metros.