Question

Se quiere construir una caja rectangular de modo que su volumen sea de 13

. Para su fabricación se usan dos tipos de materiales: el material M1 para la tapa y la base, y el material M2 para los otros lados de la caja. El costo del material M1 es de 2$ por cada cm2 y el costo del material M2 es de 1$ por cada cm2

. Encontrar las dimensiones de la caja que cumpla con el requerimiento del volumen pero que el costo de fabricación sea el menor posible.

Answer 1

Las dimensiones de la caja que optimizan el costo son 2,96 metros de largo, 2,96 metros de ancho y 1,48 metros de altura.

En este caso el volumen viene impuesto, por lo que hay que aplicar derivadas para con ese volumen optimizar el costo.

¿Cómo obtener una función para el costo?

El volumen de la caja asumiendo que tiene forma de paralelepípedo y dimensiones en su base 'a' y 'b' y altura 'h' es:

$V=a.b.h\\a.b.h=13m^2$

El área de material M1 que se va a utilizar para construir las dos tapas es:

$A_1=2ab$

Y el área de material M2 que se va a usar para las cuatro caras laterales es:

$A_2=2ah+2bh$

Con estas dos expresiones podemos obtener una función para el costo y reducir el número de variables introduciendo el volumen:

$C=2ab+2(2ah+2bh)\\\\h=\frac{13m^2}{ab}=>C=2ab+2(2a\frac{13}{ab}+2b\frac{13}{ab})=2ab+\frac{52}{b}+\frac{52}{a}$

Como tenemos dos variables tenemos que hallar dos derivadas parciales e igualarlas a cero:

$\frac{dC}{da}=2b-52b^{-2}=\frac{2b^3-52}{b^2}=0\\\\2b^3-52=0\\b=\sqrt[3]{26}=2,96m$

$\frac{dC}{db}=2a-\frac{52}{a^2}=\frac{2a^3-52}{b^2}\\\\2a^3-52=0\\a=\sqrt[3]{26}=2,96m$

Resulta que la base de la caja es cuadrada, la altura de la caja es:

$h=\frac{V}{ab}=\frac{13m^2}{2,96m.2,96m}=1,48$

Otro ejemplo sobre optimización de material en https://brainly.lat/tarea/56514304