Se quiere cercar un terreno en forma rectangular. Para ello se dispone de una cerca de 160 metros. Además, un lado del terreno ya no necesita cercar por una cerca anterior ya existente. ¿Cuál es la medida de uno de los lados para lograr cercar la mayor cantidad de área de terreno? Observa la gráfica:
Respuestas a la pregunta
Tema: Funciones cuadráticas
Respuesta: 40 m
Explicación:
Nos dice que un lado del rectángulo ya esta cercado, así que tendríamos
dos anchos y un largo del rectángulo.
Ancho: 20 (2) m
Largo: 40 m
COMPROBAMOS:
Sumemos: 20 (2) + 40 = 120
Restemos: 160 - 120= 40 (eso sería de la parte que ya esta cercada)
Se utiliza la formula para calcular la mayor distancia:
(la demás información es adicional)
Las dimensiones necesarias para que el terreno tenga la mayor área posible son: 80 metros en el lado paralelo a la cerca anterior y 40 metros en los laterales.
Explicación:
La función objetivo es el área del terreno.
Si llamamos
x = longitud del lado paralelo a la cerca anterior
y = longitud de los laterales
La función objetivo viene dada por:
Área = A = x y
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el perímetro (P) no cercado (ecuación auxiliar) para despejar x en función de y:
P = x + 2y = 160 ⇒ x = 160 - 2y
por tanto la función objetivo es
A = x y = y (160 - 2y) = 160y - 2y²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A’ = 160 - 4y
A' = 0 ⇒ 160 - 4y = 0 ⇒ y = 40 m
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = -4
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''(40) = -4 < 0 ⇒ y = 40 m es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo de x:
x = 160 - 2(40) = 80 m
Las dimensiones necesarias para que el terreno tenga la mayor área posible son: 80 metros en el lado paralelo a la cerca anterior y 40 metros en los laterales.
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