Question

se puede extraer los factores cuando el índice de la raíz menor que la exponente? como se hace,?​

Answer 1

La manera más simple para eso es DIVIDIR el exponente del radicando entre el índice de la raíz.

• El cociente de la división será el exponente del factor que extraemos fuera de la raíz.
  

• El residuo de la división será el exponente del factor que queda dentro de la raíz.

Te pongo ejemplos:

$\sqrt[3]{x^8} = x^2\sqrt[3]{x^2}$

He dividido 8 entre 3.

• El cociente es 2 y queda como exponente del factor extraído.
• El residuo es 2 y queda como exponente del factor que no se extrae.

Pero esto sería una norma fácil de olvidar y por eso te explicaré en qué se basa esa norma tomando el mismo ejemplo:

$\sqrt[3]{x^8} = \sqrt[3]{x^3*x^3*x^2}=x*x*\sqrt[3]{x^2} =x^2\sqrt[3]{x^2}$

Simplemente se aplican reglas de potenciación y el resultado es el mismo que aplicando la norma que te indiqué en un principio.

Otro ejemplo:

$\sqrt[5]{x^{23} }\ ... \text{divido 23 entre 5. El cociente es 4 y el residuo es 3 }\\ \\ \sqrt[5]{x^{23} }=x^4\sqrt[5]{x^3}$

Por eso podemos expresar cualquier raíz como una potencia de exponente fraccionario cuando se da el caso en que el índice es mayor que el exponente del radicando.

Así verás alguna potencia de este estilo:

$a^{1/2} \ ...\ \text{esta potencia es lo mismo que ...} \sqrt{a}$

$b^{2/5} \ ...\ \text{esta potencia es lo mismo que ...} \sqrt[5]{b^2}$