Question

Se programa una máquina para llenar un frasco pequeño con 9.0 gramos de medicamento. Una muestra de 8 frascos arrojó las siguientes cantidades (en gramos) por botella.

9.2 8.7 8.9 8.6 8.8 8.5 8.7 9.0

¿Puede concluir que el peso medio es inferior a 9.0 gramos si el nivel de significancia es de 0.01?
a ) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
b ) ¿Cuántos grados de libertad existen?
c ) Establezca la regla de decisión
d ) Calcule el valor de t. ¿Qué decide respecto de la hipótesis nula?

Answer 1

A un nivel de confianza del 1%, no hay evidencias suficientes para concluir que el peso medio es inferior a 9 gramos.

Explicación:

Para concluir con un nivel de significancia del 1% que el peso es inferior a 9 gramos tenemos que hallar los estadísticos de prueba y formular las hipótesis con sus intervalos de confianza.

a) Vamos a tomar como hipótesis nula que el peso medio es menor a 9 gramos y como hipótesis alternativa que no lo es.

b) La distribución t de Student se toma con n-1 grados de libertad, siendo n el número de variables a considerar. como son 8 datos, los grados de libertad son 7.

c) Para hallar el valor del parámetro 't', debemos ir a las tablas de distribución t de Student. Allí entramos con el número de grados de libertad (7) y el nivel de confianza (0,01), obteniendo un valor de 2,9979 a una cola.

Este valor es igual a lo siguiente:

$t=\frac{\bar{x}-u}{\sqrt{\frac{S^2}{n}}}$

Aquí 'u' es el valor de la hipótesis, la media muestral X y la varianza de la muestra son:

$\bar{X}=\frac{9,2+8,7+8,9+8,6+8,8+8,5+8,7+9}{8}=8,8\\S^2=\sum\frac{(X-\bar{X})^2}{n}=0,045$

Si tomamos un valor de la hipótesis de 9, tenemos:

$t=\frac{8,8-9}{\sqrt{\frac{0,045}{8}}}\\t=-2,67$

Con lo que rechazamos la hipótesis nula a un nivel de confianza del 1% ya que debe ser mayor o igual al valor de la tabla.