Question

Se producirá una caja, abierta por la parte superior de una pieza cuadrada de cartón cortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados. Dado que la pieza de cartón mide 60cm de cada lado.

Answer 1

El máximo volumen que puede tener la caja de cartón es:

16000 cm³

¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?

Un prisma es un poliedro que se caracteriza por tener una base rectangular, además cuatro caras laterales y ocho vértices.

El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura.

V = Ab × alto

Siendo;

• Ab: área de la base

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuál es el máximo el volumen de la caja?

Siendo;

• largo = 60 - 2x
• ancho = 60 - 2x
• alto = x

Sustituir en el volumen:

V(x) = x(60-2x)(60 -2x)

Aplicar distributiva;

V(x) = x(3600 - 120x - 120x + 4x²)

V(x) = 3600x - 240x²+ 4x³

Aplicar primera derivada;

V'(x) = d/dx(3600x - 240x²+ 4x³)

V'(x) = 3600 - 480x + 12x²

Aplicar segunda derivada;

V''(x) = d/dx(3600 - 480x + 12x²)

V''(x) = -480 + 24x

Igualar a cero la primera derivada;

12x² - 480x + 3600 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{480\pm\sqrt{480^{2}-4(12)(3600)}}{2(12)}\\\\x_{1,2}=\frac{480\pm\sqrt{57600}}{24}\\\\x_{1,2}=\frac{480\pm240}{24}$

x₁ = 30 cm

x₂ = 10 cm

Evaluar;

V(max) = 3600(10) - 240(10)²+ 4(10)³

V(max) = 16000 cm³

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