Question

Se producirá una caja, abierta por la parte superior, de una pieza rectangular de cartón que mide 30 pulg de largo por 20 pulg de ancho. La caja puede cerrarse al cortar un cuadrado en cada esquina, al cartón por las lineas discontinuas. Exprese el volumen de la caja como una función de la variable indicada x. Encuentre las dimensiones de la caja con que se obtiene el volumen máximo ¿Cual es el volumen máximo?

Answer 1

El volumen máximo que esta caja puede tener es de 1056 pulgadas cúbicas y se obtiene con una altura de 3,92 pulgadas, 22,16 pulgadas de largo y 12,16 pulgadas de ancho.

Explicación:

Con este método para producir la caja, en las esquinas de la plancha de cartón se cortan sendos cuadrados de lado x, entonces el área de la base de la caja queda:

$A=(30-2x)(20-2x)$

Si las solapas que quedan se pliegan para armar la caja el volumen queda:

$V=x(30-2x)(20-2x)$

Esta es la función que hay que maximizar, si desglosamos los binomios queda:

$V=x(30-2x)(20-2x)=600x-60x^2-40x^2+4x^3\\\\V=4x^3-100x^2+600x$

Ahora bien, para que en un punto x0 del dominio de esta función haya un máximo la condición que debe cumplirse en ese punto es:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)<0$

Hallamos las derivadas de la función:

$V'=12x^2-200x+600\\\\V''=24x-200$

Igualamos la derivada a 0 y queda:

$12x^2-200x+600=0\\\\x=\frac{200\ñ\sqrt{200^2-4.12.600}}{2.12}=\frac{200\ñ\sqrt{2800}}{24}\\\\x=3,92''\\x=12,74''$

Nos quedamos con el primer resultado ya que al hacer negativa la derivada segunda es un máximo. Con este valor nos queda para las dimensiones:

$l=30''-2.3,92''=22,16''\\a=20''-2.3,92''=12,16''$

Y con estas medidas el volumen máximo es:

$V=12,16''.22,16''.3,92''=1056''^3$

Answer 2

Respuesta:

Explicación: No entiendo la explicación, es correcta, no entiendo?