Se plantan 3 árboles y cada 30 min se duplica el plantio. Calcula cuántos árboles se plantan en 2 horas con 15 min
Ayuda por favor es de matemáticas ocupo la fórmula y procedimiento
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El matemático inglés James J. Sylvester (1814-1897) estuvo trabajando en este problema, para el caso clásico de filas formadas por tres árboles, es decir, el caso k = 3, desde la década de 1860 hasta su muerte. El problema de la línea de Sylvester del que hablamos en la anterior entrada formaba parte de esta investigación.
El problema general de determinar la mayor número de filas r(n, k) para n puntos y k puntos por fila no se ha resuelto todavía. Se ha obtenido la solución para algunos casos particulares y también algunas cotas inferiores para r(n, k). Por ejemplo, el propio Sylvester demostró la siguiente cota inferior:
\lfloor x\rfloor es el número entero más grande que es menor o igual que x, por ejemplo, \lfloor 5,2\rfloor = 5; ó \lfloor –3,2\rfloor = – 4.
Cuando k = 2 el problema es trivial, ya que cada par de puntos de los n dados forman una recta, luego el máximo número de rectas posibles es el número combinatorio “n sobre 2”, es decir, las formas de elegir dos objetos de un conjunto de n,
Para el caso clásico de filas de tres árboles, k = 3, la cuestión se complica ya mucho. Como comentaba Martin Gardner en su artículo Problemas de plantación de árboles, del libro Viajes en el tiempo y otras perplejidades matemáticas, este problema está relacionado con diferentes teorías matemáticas, como teoría del diseño, triples de Kirkman-Steiner, geometrías finitas, funciones elípticas de Weierstrass, curvas cúbicas, planos proyectivos, códigos de corrección de errores y muchas otras.
En la siguiente imagen vemos soluciones para un número bajo de puntos, es decir, distribuciones maximales de puntos (resp. árboles) en filas de tres puntos (resp. árboles) para una cantidad de puntos entre 3 y 10, muchos de los cuales aparecen en libros clásicos de problemas de ingenio.
En concreto, el diagrama para el caso de 9 puntos (abajo a la izquierda) es la solución al rompecabezas de Newton.
El diagrama que resuelve el caso de once puntos, es decir, la distribución maximal de 11 puntos, que permite obtener 16 rectas, es la solución del otro problema de ingenio de Henry E. Dudeney (1857-1930), de su libro Amusements in mathematics –Diversiones matemáticas-, que propusimos en la anterior entrada del Cuaderno de Cultura Científica, El problema de la plantación de árboles en filas.
Turcos y rusos (versión de N. J. A. Sloane): Durante una batalla de la Primera Guerra Mundial, 11 soldados turcos fueron rodeados por 16 soldados rusos. Cada ruso disparó una vez y cada bala pasó exactamente por la cabeza de tres turcos. ¿Cómo estaban colocados los soldados turcos?
Es el siguiente diagrama:
El ingeniero Robert H. Macmillan (1921-2015) que era un apasionado de la matemática recreativa, y colaborador habitual de la revista The mathematical Gazette anunció en esta revista en 1946 que se podía obtener una distribución de 12 puntos que permitía obtener 19 rectas. Después Stefan A. Burr, Branko Grunbaum, N. J. A. Sloane, en su artículo The Orchand Problem –el problema del huerto- (1974) demostraron que 19 era maximal, es decir, r(12, 3) = 19. A continuación mostramos la distribución maximal que aparece en el artículo de Burr, Grunbaum y Sloane. Esta distribución simétrica se ha realizado sobre el plano proyectivo, es decir, con puntos del infinito, de hecho, tres de los puntos están en el infinito y una de las rectas es la recta del infinito. Esta solución se puede trasladar al plano normal (euclídeo), pero no es tan sencilla de visualizar, por eso mostramos aquí la del plano proyectivo.
Aprovechemos para recordar que el plano proyectivo es una estructura geométrica que extiende el concepto de plano euclídeo ordinario. En el plano euclídeo dos rectas se intersecan en un punto o son paralelas. El plano proyectivo puede pensarse como el plano euclídeo al que se le añaden “puntos del infinito”, donde se intersecan las rectas paralelas. Por lo tanto, en el plano proyectivo cualesquiera dos rectas se cortan y lo hacen en un único punto. Además, todos los puntos del infinito forman la “recta del infinito”.
Stefan A. Burr, Branko Grunbaum, N. J. A. Sloane también obtuvieron en su artículo una nueva cota inferior para r(n, k), en concreto:
Así, por ejemplo, para las siguientes cantidades de puntos n = 13, 14, 15 y 16, se sabe que la cantidad de rectas, con tres puntos, maximal es mayor, o igual, que 22, 26, 31 y 35, respectivamente.
Recientemente, los matemáticos inglés Ben Green y australiano Terence Tao, han demostrado que la cota inferior para r(n, k) de Burr, Grunbaum y Sloane es también una cota superior, para valores suficientemente grandes de n, y por lo tanto, es el valor exacto de r(n, k), para dichos valores suficientemente grandes de n.
Los números r(n, 3) forman una sucesión de números enteros que aparece en la Enciclopedia On-line de Sucesiones de Números Enteros (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) como la sucesión A003035.