Question

SE PATEA UN BALÓN FORMANDO CON LA HORIZONTAL UN ANGULO DE 30 GRADOS Y VA CON UNA VELOCIDAD DE 30 M/S . DETERMINA LA DISTANCIA RECORRIDA EN EL EJE X , EL TIEMPO DE SUBIDA Y DE VUELO​

Answer 1

El alcance horizontal máximo del balón es de 77.94 metros, siendo la distancia recorrida en el eje x

El tiempo de subida es de 1.5 segundos, siendo el tiempo de vuelo de 3 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (30 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 30 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{900\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (60 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{900\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 450\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 450\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ \not 10 \ . \ 45\ \ . \ \sqrt{3} }{\not 10 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =45\sqrt{3} \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =77.94 \ metros }}$

El alcance horizontal máximo del balón es de 77.94 metros

Hallamos el tiempo de subida

La ecuación del tiempo de subida de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{s} =\frac{ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{S} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de subida del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{ (30 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (30^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{30\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{1}{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{30\ \ . \ \frac{1}{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{ \frac{30}{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{15 }{10 } \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{s} =1.5 \ segundos }}$

El tiempo de subida del balón es de 1.5 segundos

Calculamos el tiempo de vuelo

Conociendo el tiempo de subida podemos hallar el tiempo de vuelo del proyectil

Dado que

$\large\textsf{El tiempo de vuelo es }$

$\large\boxed {\bold {t_{V} = 2\ t_{subida} }}$

Si

$\boxed {\bold {t_{subida} = 1.5\ s } }$

$\boxed {\bold {t_{V} = 2 \ . \ (1.5 \ s) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{v} = 3\ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 3 segundos

Podemos determinar la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(30 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (30^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{900\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{1}{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{900\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{1}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{900}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 225 }{20\ } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 11.25\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 11.25 metros