Se ocupa diseñar un bote de aceite que contenga algún volumen dado de aceite y que este bote sea de forma cilíndrica, con dimensiones que requiera la menor cantidad de material para esa cantidad. El espesor del material no es variable de consideración, ¿cuál es el radio y la altura del cilindro para cualquier cantidad de aceite?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El problema de la lata de aceite
Supongamos que tenemos que diseñar una lata de aceite en forma de cilindro y que tiene que contener un litro (1000 cm3) de aceite. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener la lata, de manera que requiera la mínima cantidad de metal para su manufactura?
Supongamos que utilizamos las letras r y h para representar el radio y la altura (medidas ambas magnitudes en centímetros) el volumen V será expresado:
V=πr2h
Que si debe ser de 1000 cm3 nos lleva a la relación: 1000= πr2h
Solo podemos determinar una de las dimensiones de la lata, ya que si escogemos un cierto valor para el radio la altura queda determinada por la relación anterior siendo la ecuación que la identifica la siguiente:
Para poder usar la mínima cantidad de metal posible, debemos buscar el radio que de la lata de aceite cuya superficie de contorno sea mínima. Suponiendo láminas uniformes en grosor y calidad de material
Área de la superficie = área de la tapa + área del fondo + área lateral
Área de la superficie = πr2+ πr2+ 2 πrh
Área de la superficie = πr2+ πr2+ 2πr(1000/πr2)
Hemos de considerar que r es una variable sujeta a ciertas restricciones físicas, no puede ser cero ni negativa, pero a pesar de ello todavía nuestro problema tiene un número ilimitado de posibles soluciones.
1.- Observa que, manteniendo el volumen constante, puedes variar el radio y cambia la forma y la superficie que contiene a ese volumen.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Simplificando y llamando S a la superficie anterior hemos establecido la siguiente función que la relaciona con el radio.