Question

Se multiplican la fila i por la columna j (producto punto) para obtener el elemento ij:

imagen(7).png
Calcular: B * A

Answer 1

El producto de las matrices B=$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&2&1\\1&1&0\end{array}\right]$ y A=$\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\3&0&0\\5&1&1\end{array}\right]$, es C=$\left[\begin{array}{ccc}7&1&2\\13&1&2\\5&0&1\end{array}\right]$, que se obtiene multiplicando la fila i por la columna j.

¿Cómo se calcula el producto de matrices?

La multiplicación de matrices da como resultado otra matriz cuyas dimensiones dependen de las dimensiones de las dos matrices factores.

Se requiere que la cantidad de filas de la matriz de la izquierda sea igual a la cantidad de columnas de la matriz de la derecha.

La fórmula es:

$A\cdot B=C$

$\left[\begin{array}{ccc}a_{11&a_{12}&a_{13\\a_{21&a_{22&a_{23\\a_{31&a_{32&a_{33\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}b_{11&b_{12}&b_{13\\b_{21&b_{22&b_{23\\b_{31&b_{32&b_{33\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}c_{11&c_{12}&c_{13\\c_{21&c_{22&c_{23\\c_{31&c_{32&c_{33\end{array}\right]$

Donde cada entrada de c ($c_{ij$) es el producto escalar de cada fila #i de A por cada columna #j de B.

Es decir:

$c_{11}=\left[\begin{array}{ccc}a_{11&a_{12}&a_{13\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}b_{11\\b_{21\\b_{31\end{array}\right] =a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}$

El primer subíndice (i) de la entrada $c_{ij$ correspone al número de fila al cual pertenece, y el segundo subíndice (j) corresponde al número de columna al cual pertenece. Así mismo, cada i corresponde al número de fila de la matriz A que se multiplica con cada columna j de la matriz B.

En este caso, tenemos la multiplicación de matrices:

$B\cdot A=C\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&2&1\\1&1&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\3&0&0\\5&1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}c_{11&c_{12}&c_{13\\c_{21&c_{22&c_{23\\c_{31&c_{32&c_{33\end{array}\right]$

$c_{11}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}2\\3\\5\end{array}\right] =1*2+0*3+1*5=7\\\\c_{12}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right] =1*0+0*0+1*1=1$

$c_{13}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right] =1*1+0*0+1*1=2\\\\c_{21}=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}2\\3\\5\end{array}\right] =1*2+2*3+1*5=13$

$c_{22}=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right] =1*0+2*0+1*1=1\\\\c_{23}=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right] =1*1+2*0+1*1=2$

$c_{31}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}2\\3\\5\end{array}\right] =1*2+1*3+0*5=5\\\\c_{32}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right] =1*0+1*0+0*1=0$

$c_{33}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right] =1*1+1*0+0*1=1$

Entonces la matriz producto es:

$C=\left[\begin{array}{ccc}7&1&2\\13&1&2\\5&0&1\end{array}\right]$

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