Se llama U(n) al numero formado por n numeros 1. Es decir U(1)= 1, U(2)=11, U(3)=111 etc.
Cuantos ceros aparecen en el numero que resulta dividir U(112) entre U(4) ?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
84.
Explicación paso a paso:
Como
U(4)/U(4) = 1
y
U(8)/U(4) = [U(4)·10^4 + U(4)]/U(4) = 10^4 + 1
y
U(12)/U(4) = [U(8)·10^4+U(4)]/U(4) = [U(8)·10^4]/U(4) + 1 = 10^8 + 10^4 + 1
y
U(16)/U(4) = [U(12)·10^4 + U(4)]/U(4) = [U(12)·10^4]/U(4) + 1 = 10^12 + 10^8 + 10^4 + 1
podemos comprobar por inducción que la expresión es válida para 4n. Para n=1, 2, 3, 4 se cumple. Veamos ahora que si
U(4n)/U(4) = 10^(4(n-1)) + 10^(4(n-2)) + 10^(4(n-3)) + … + 10^4 + 1,
entonces se cumple para 4(n+1)
En efecto,
U(4(n+1))/U(4) = [U(4n)·10^4 + U(4)]/U(4) = 10^(4n) + 10^(4(n-1)) + ··· + 10^4 + 1
Y como hay n sumandos, cada uno con tres ceros, el número total de ceros es de 3n ceros.
En el caso particular n= 28 (pues 4n = 112) el número de ceros es de 84.