Question

Se lanza una piedra a un estanque y se generan ondas concéntricas. Se sabe que el radio crece a la razón de 1cm por segundo. Determina qué tan rápido está cambiando el área del círculo cuando el radio es exactamente de 3cm.

Answer 1

La rapidez con con que cambia el área del círculo cuando su radio es exactamente de 3 centímetros es de 6 π cm²/ s o de aproximadamente 18,85 cm²/ s

Solución

Se lanza una piedra a un estanque generando ondas concéntricas

Donde estas ondas se moverán radialmente hacia fuera con respecto al punto donde cayó la piedra

Se trata de un problema de razones de cambio relacionadas

Donde se pide determinar que tan rápido está cambiando el radio del círculo cuando el radio sea exactamente de 3 centímetros.

Según los datos dados

Determinamos las variables

Donde

$\large\textsf{Sea } \bold { \frac{dr}{dt} } \large\textsf{ la raz\'on de cambio del radio en funci\'on del tiempo } \ \ \bold { \frac{dr}{dt} = 1 cm/ s }$

$\large\textsf{Sea } \bold { \frac{dA}{dt} } \large\textsf{ la raz\'on de cambio del \'Area en funci\'on del tiempo }$

$\bold { \frac{dA}{dt}} = \large\textsf{ INC\'OGNITA }$

Relacionamos las variables con el área del círculo  

$\large\boxed {\bold {Area \ Circulo = \pi \ . \ r^{2} }}$

Se establece una relación entre el área del círculo y su área para derivar esa expresión con respecto al tiempo

A partir de la razón relacionada se obtiene

$\boxed {\bold { \ \frac{dA}{dt} = \ \frac{dr}{dt} \left (\pi \ . \ r^{2} (t)\right) }}$

$\boxed {\bold { \ \frac{dA}{dt} = 2\ \pi \ r (t) \ \frac{dr}{dt} }}$

$\large\textsf{Debemos determinar la raz\'on de cambio para un radio de 3 cm}$

$\large\textsf{Luego } \ \ \bold { r(t) = 3 \ cm }$

$\large\textsf{Siendo } \ \ \bold { \frac{dr}{dt} = 1 cm/ s }$

$\large\textsf{Para hallar } \bold { \frac{dA}{dt} } \large\textsf{ reemplazamos valores y se tiene: }$

$\boxed {\bold { \ \frac{dA}{dt} = 2\ \pi \ ( 3 \ cm ) \ (1 \ cm/s) }}$

En forma exacta

$\large\boxed {\bold { \ \frac{dA}{dt} = 6\ \pi \ cm^{2} /s }}$

En forma decimal

$\large\boxed {\bold { \ \frac{dA}{dt} \approx 18,85 \ cm^{2} /s }}$

Por lo tanto cuando el radio del círculo es exactamente de 3 centímetros el área tiene un cambio de 6 π cm²/ s o de aproximadamente 18,85 cm²/ s