Question

se lanza una pelota hacia arriba con una rapidez de 48p/s desde el borde de un acantilado a 432 pies por arriba del nivel del suelo.Halle la funcion altura.

¿en que tiempo alcanza su altura maxima?
¿En que tiempo choca contra el suelo?

Answer 1

La pelota alcanza su altura máxima en 1.4929 segundos y choca contra el suelo en 6.887 segundos

Para poder hallar la función de altura debemos referirnos al movimiento rectilíneo acelerado, específicamente al del lanzamiento vertical, donde sus ecuaciones son

$v(t) = -gt + v_0\\\\y(t) = - \frac{g}{2}t^2 +v_0t + y_0$

Donde v_0 y _0 son la velocidad y posición inicial respectivamente y g es la aceleración gravitatoria que vale aproximadamente 32.15 ft/s², en nuestro caso v_0 = 48 ft/s y y_0 = 432 ft por lo que las ecuaciones quedan

$v(t) = -gt +48\\\\y(t) = - \frac{g}{2}t^2 + 48t + 432$

Para hallar la altura máxima, tenemos que ver cuando la velocidad se hace 0, dado a que esto implica que justo en ese momento la pelota de subir y empieza a bajar.

En este caso se logra en

$v(t_{max}) = -gt_{max}  + 48 = 0\\\\ 48 = gt_{max}\\\\t_{max} = \frac{48}{g}= \frac{48}{32.1518} = 1.4929s$

Es decir, en aproximadamente segundo y medio la pelota alcanza su altura máxima.

Por último, para determinar cuando toca el suelo, debemos ver cuando la altura se hace 0 ( por convención el suelo tiene altura 0 ), por lo que procedemos a resolverlo

Nota: Debemos recordar el uso de la ecuación general de segundo grado: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac} }{2a}$ que son las soluciones de una ecuación de segundo grado.

Tenemos

$y(t) = - \frac{g}{2}t^2 +48t + 432 = 0\\\\t = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 +864g} }{-g} = \frac{48 \pm \sqrt{ 2304+864g } }{g} \\ \\t = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 27779.15} }{32.1518} = \frac{48 \pm \sqrt{30083.15}}{32.1518}\\\\t = \frac{48 \pm 173.44}{32.1518}$

Ahora, Tenemos dos posible opciones, t = 6.887 seg o t= -3.901, se puede ver que la segunda solución no representa una solución real puesto que el tiempo nunca puede ser negativo, por lo que tomamos la primera