Question

Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado angulo respecto de la horizontal, tal que su trayectoria parabólica esta dada por la función cuadrática:
y= -5t al cuadrado + 24 t + tres medios.

A). ¿ cual es la altura máxima (k) que alcanza y que instante (T1)?
B).¿ cuanto demora en caer desde que alcanza su máxima altura?
C).¿ cual seria la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de haberla lanzado?

Answer 1

Reglas de derivación usadas:

$(x^{k})'=kx^{k-1}$

$(kx)'=k$

$(k)'=0$

Con k una constante cualquiera.

Respuestas y explicación paso a paso:

A) La pelota sigue una trayectoria parabólica y sabemos que en el punto de altura máxima la pendiente de la parábola es cero, entonces derivamos la función de trayectoria e igualamos a cero:

y = -5t²+24t+3/2

y' = -5(2)t+24+0

y' = -10t+24

0 = -10t+24

 Sumamos "10t" a lado y lado:

10t = 24

 Ahora dividimos todo por 10:

t = 24/10

 La fracción simplificada a la mitad equivale a:

t = 12/5 = 2.4

2.4 segundos le toma a la pelota llegar a la altura máxima, ese será el T1

 Ahora para hallar la altura máxima evaluamos ese valor de tiempo en la función de trayectoria original:

y(2.4) = -5(2.4)²+24(2.4)+3/2

y(2.4) = 30.3

La altura máxima k es igual a 30.3 metros.

B) Para saber el tiempo que demora en caer desde la altura máxima igualamos la función de trayectoria al valor de altura máxima y luego despejamos "t":

30.3 = -5t²+24t+3/2

 Restamos 30.3 a lado y lado:

0 = -5t²+24t+3/2-30.3

0 = -5t²+24t+31.8

Para esta ecuación cuadrática identifiquemos que: a=-5 , b=24 , c=31.8 luego usamos la fórmula para ecuaciones cuadráticas:

$\boxed{\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$

Evaluando los valores y alternando el signo que antecede la raíz obtenemos dos valores para "t":

t₁ = 5.88

t₂ = -1.08

Descartamos el valor negativo ya que estamos hablando de un tiempo, luego el tiempo que demora en caer desde la altura máxima es 5.88 segundos.

C) Para saber la altura que alcanza en 3 segundo después de lanzada evaluamos la función de trayectoria en 3:

y(3) = -5(3)²+24(3)+3/2

y(3) = -45+72+3/2

y(3) = 28.5

La altura alcanzada luego de 3 segundos es de 28.5 metros.