Question

Se lanza una flecha verticalmente hacia arriba desde el suelo coincidiendo la altura máxima con la de un puente. Si la flecha tarda 3,8 segundos en volver a la superficie, calcula la altura del puente y la velocidad de lanzamiento.

Answer 1

La altura del puente es de 17.69 metros

La velocidad del lanzamiento de la flecha es de 18.62 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro vertical

En el tiro vertical un objeto es lanzado verticalmente con determinada velocidad inicial hacia arriba o hacia abajo

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad.

La aceleración de la gravedad se puede considerar constante y dirigida hacia abajo.

Si se establece un sistema de referencia en el plano cartesiano el objeto se encuentra sobre el eje y, donde  $\bold { y_{0} = 0 }$

Y donde el cuerpo parte con determinada velocidad inicial, siendo su aceleración constante y esta toma el valor de la gravedad.

$\large\textsf{Donde se pueden tener dos casos seg\'un el sistema de referencia }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia arriba } \bold { \ donde \ la \ velocidad \ inicial\ V_{0} > 0 }$

Siendo las ecuaciones  

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia abajo } \bold { donde \ la \ velocidad \ inicial\ \ V_{0} < 0 }$

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

   

Solución

$\large\textsf{Se tiene un tiro vertical hacia arriba }$

Hallamos la velocidad inicial con que se lanzó la flecha

Consideramos el tiempo de subida:

Se tiene como dato el tiempo de vuelo o el tiempo de permanencia en el aire del proyectil el cual es de 3.8 segundos

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para el tiempo de subida

Por lo tanto  

Si el cuerpo regresa al punto de partida al cabo de 3.8 segundos, ello implica que demoró 1.9 segundos en alcanzar la altura máxima

Para este caso cuando la flecha alcanzó la altura máxima

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad es cero  $\bold { V_{y} = 0 }$

$\large\textsf{ Consideramos el valor de la gravedad }\ \ \bold { g= \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {0 \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { -V_{0} = \ - \ g \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { V_{0} = \left (9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \right) \ . \ (1.9 \not s) }}$

$\large\boxed {\bold {V_{0} \ = \ 18.62\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad inicial del lanzamiento de la flecha es de 18.62 metros por segundo (m/s)

Determinamos la altura máxima que alcanza la flecha para hallar la altura del puente

Empleamos la siguiente ecuación de MRUV

$\boxed {\bold { H \ = \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { H \ = \left( 18.62 \ \frac{m}{s} \right) \ . \ ( 1.9 \ s )\ -\frac{1}{2} \ \left(9,8 \ \frac{m}{s^{2} }\right ) \ . \ (1.9\ s)^{2} }}$

$\boxed {\bold { H \ = \left( 18.62 \ \frac{m}{\not s}\right ) \ . \ ( 1.9 \ \not s )\ -\frac{ \left ( 9.8 \ \frac{m}{s^{2} }\right ) \ . \ (3.61 \ \not s^{2} ) }{2} }}$

$\boxed {\bold { H \ = 35.378\ m \ - 17.689 \ m }}$

$\boxed {\bold { H \ = 17.689 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H = 17.69 \ m }}$

La flecha llega a una altura máxima de 17.69 metros donde la altura máxima alcanzada por el proyectil coincide con la altura del puente, por tanto este tiene 17.69 metros de altura