Question

Se lanza un proyectil con una velocidad de 300 m/s con que ángulo se debe lanzar para que su altura sea igual a 3 veces su alcance máximo

Answer 1

Respuesta: 85.24°

Explicación:

Hola! Se trata de un ejercicio de proyectiles, donde la altura máxima está dada por la expresión:

$\boxed{Y_m=\frac{V_0^2\sin^2 \alpha}{2g} }$

Y el alcance máximo está dado por:

$\boxed{X_m=\frac{V_0^2\sin 2\alpha}{g} }$

Se requiere que la  altura sea igual a 3 veces su alcance máximo. Esto es Ym = 3Xm, por tanto planteamos:

$Y_m=3X_m$

Sustituyendo las expresiones para Ym y Xm obtenemos:

$\frac{V_0^2\sin^2 \alpha}{2g} =3\frac{V_0^2\sin 2\alpha}{g}$

Simplificando los elementos iguales en cada miembro nos queda:

$\frac{\sin^2 \alpha}{2} =3\sin 2\alpha$

Multiplicamos ambos lados por 2:

$\sin^2 \alpha =2\cdot3\sin 2\alpha$

$\sin^2 \alpha =6\sin 2\alpha$

Usamos la identidad del sen 2x =2 sen x cosx :

$\sin^2 \alpha =6(2 \sin \alpha \cos\alpha)$

Dividimos la ecuación por sin α:

$\sin \alpha =12\cos\alpha$

Pasamos el coseno al miembro izquierdo y usamos la definición de tangente.

$\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha} =12$

$\tan \alpha=12$

FInalmente, calculamos el ángulo.

$\boxed{\alpha=\tan^{-1}(12)=85.24^{\circ \:}}$

Listo! Y ni siquiera utilizamos el dato de la velocidad! Lo que significa que este resultado aplica para cualquier velocidad a la que se lance el proyectil! Siempre que lo lancemos con un ángulo de 85.24 grados la altura será 3 veces mayor que su alcance máximo, independientemente de la magnitud de la velocidad.