se lanza hacia arriba una pelota de béisbol de una altura de 5 m a una velocidad de 18 m por segundos Cuál es la altura máxima que alcanza desde el nivel del piso
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Alcance horizontal y altura máxima
En el applet se trazan las trayectorias de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 pero con los siguientes ángulos de tiro θ : 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.
Las ecuaciones del movimiento de los proyectiles son
x= v 0 cos
θ⋅t
y=v 0sin
θ⋅t−
1
2
gt2
x=v0cosθ·ty=v0sinθ·t−12gt2
La parábola de seguridad
El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.
x
max
=
v 2
0
sin(2θ)
g
xmax=v02sin(2θ)g
Su valor máximo se obtiene para θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+α , que para θ =45-α . Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sin(2·30)=sin(2·60).
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.
y
max
=
v 2
0
sin 2
θ
2g
ymax=v02sin2θ2g
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre 0 y 180º se denomina parábola de seguridad.
Esta denominación hace referencia al hecho de que fuera de esta parábola estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad v0.
Se trata de la parábola simétrica respecto del eje Y de ecuación y=-ax2+b que pasa por los puntos (x=v02/g, y=0), y (x=0, y=v02/(2g)) tal como se ve en la figura.
La ecuación de dicha parábola es
y=−
1
2
g
v 2
0
x 2
+
1
2
v 2
0
g
y=−12gv02x2+12v02g
Deducción alternativa de la ecuación de la parábola de seguridad
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son
x= v 0 cos
θ⋅t
y=v 0sin
θ⋅t−
1
2
gt2
x=v0cosθ·ty=v0sinθ·t−12gt2
Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria
y=xtan
θ−
g
x 2
2
v 2
0
cos
2
θ
y=xtanθ−gx22v02cos2θ
Esta ecuación se puede escribir de forma alternativa
tan
2
θ−
2
v 2
0
g x
tan
θ+
(
1+
2
v 2
0
y
g
x 2
)=0
tan2θ−2v02gxtanθ+(1+2v02ygx2)=0
Consideremos un punto arbitrario P del plano. Sustituimos las coordenadas (x, y) del punto en la ecuación de la trayectoria y puede ocurrir
Que la ecuación de segundo grado en tanθ no tenga raíces reales. El punto P1 no podría ser un punto de impacto para un proyectil disparado con velocidad inicial v0.
Que la ecuación de segundo grado tenga dos raíces reales, lo que implicará que el punto P2 es accesible, y que hay dos ángulos de tiro θ1 y θ2 que dan en el blanco P2. En la figura, vemos que cualquier punto en el interior de la envolvente es alcanzado por dos trayectorias.
Cuando la raíz de la ecuación de segundo grado es doble θ1=θ2. Como vemos en la figura, solo hay una trayectoria que pasa por un punto P3 dado de la envolvente.
Para que las raíces sean iguales, se tiene que cumplir que el discriminante b2-4ac de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 sea nulo.
(
2
v 2
0
g x
)
2