Question

Se instala una camara de television a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ́angulo de elevacion de la camara tiene que cambiar con la rapidez correcta, con el objeto de tener siempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la c ́amara tiene que tomar en cuenta la distancia creciente de la c ́amara al cohete que se eleva. Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado 3000 pies. (a) ¿Que tan rapido cambia la distancia de la camara de television al cohete en ese momento? (b) Si la camara de television se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿que tan rapido cambia el angulo de elevacion de la camara en ese momento?

Answer 1

La  distancia entre la cámara y el cohete varía a razón de 360 pies por segundo y el ángulo de elevación de la cámara varía a razón de 0,096 radianes por segundo o 5,5 grados por segundo.

Explicación:

Cuando el cohete está a 3000 pies de altura, la cámara está a la siguiente distancia del cohete:

$b=\sqrt{3000^2+4000^2}=5000$

a) La distancia de la cámara al cohete es 'a' y aplicando al triángulo rectángulo de la figura el teorema de Pitágoras queda:

$a=\sqrt{4000^2+(3000+dh)^2}\\\\a=\sqrt{4000^2+(3000+vt)^2}$

Si queremos hallar la rapidez con que varía la distancia entre la cámara y el cohete no hay más que derivar esta expresión:

$a=\sqrt{4000^2+(3000+vt)^2}\\\\\frac{da}{dt}=\frac{2(3000-vt).v}{2\sqrt{4000^2+(3000+vt)^2}}$

Esta expresión tiene como t=0 el momento en que el cohete está a 3000 pies, por lo que en ese momento la rapidez es:

$\frac{da}{dt}=\frac{2(3000-600.0).600}{2\sqrt{4000^2+(3000+600.0)^2}}\\\\\frac{da}{dt}=360ft/s$

b) En el triángulo rectángulo que se forma tenemos:

$tan(\eta)=\frac{3000+vt}{4000}$

Siendo $\eta$ el ángulo de elevación de la cámara, si lo despejamos y derivamos queda:

$\eta=tan^{-1}(\frac{3000+vt}{4000})\\\\\frac{d\eta}{dt}=\frac{1}{1+(\frac{3000+vt}{4000})^2}\frac{v}{4000}$

Como tomamos t=0 como el momento en que el cohete está a 3000 pies del suelo, en ese momento tenemos:

$\frac{d\eta}{dt}=\frac{1}{1+(\frac{3000}{4000})^2}.\frac{600ft/s}{4000ft}\\\\\frac{d\eta}{dt}=0,096s^{-1}=5,5\°/s$