Question

Se inscribe un triángulo rectángulo isósceles
dentro de un triángulo rectángulo de base 5 cm
y altura 10 cm. Encuentre el área sombreada.

Answer 1

El área del triángulo rectángulo isósceles sombreado es de 5,56 centímetros cuadrados.

¿Cómo hallamos el área del rectángulo sombreado?

Si el triángulo 'm' es isósceles y rectángulo, tenemos que la longitud m es igual a AB-AD. Aplicando el teorema de Tales tenemos que los triángulos ABC y ADE son semejantes:

$\frac{AB}{BC}=\frac{AB-DB}{DE}\\\\DB=DE=m= > \frac{AB}{BC}=\frac{AB-m}{m}$

De esta expresión resultante podemos despejar la medida 'm', correspondiente a los catetos del triángulo isósceles gris. Dicha medida es:

$m\frac{AB}{BC}=AB-m\\\\AB=m\frac{AB}{BC}+m\\\\AB=m(\frac{AB}{BC}+1)\\\\m=\frac{AB}{\frac{AB}{BC}+1}=\frac{10}{\frac{10}{5}+1}=\frac{10}{3}cm$

Ahora que tenemos la medida 'm' de los dos catetos, como el triángulo es rectángulo, los catetos son base y altura, el área de este triángulo queda:

$A=\frac{m.m}{2}=\frac{\frac{10}{3}cm.\frac{10}{3}cm}{2}=\frac{100}{18}cm^2=5,56cm^2$

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