Question

Se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 8.00 cm de radio y una masa de 0.180
kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo como se muestra en la figura 1.
Después de que el aro ha descendido 75.0 cm. Calcular:
a) Tensión de la cuerda y aceleración del centro de masa del aro
b) Rapidez angular en R.P.M del aro.
c) Rapidez lineal del centro de masa.
d) Número de revoluciones que realiza el aro

Answer 1

En el aro (situación que se puede asemejar a un yo-yo), actúan dos fuerzas, el peso del mismo y la tensión en el cordel ambas contrarrestándose de modo que:

$mg-T=ma_c$

Tenemos que para un anillo delgado de masa M y radio R el momento de inercia es:

$I=MR^2$

Ahora hallemos el torque que le ejerce la cuerda:

$T.R=I\alpha$

Es decir, el producto entre la aceleración angula y el momento de inercia, despejamos de ahí T:

$T=\frac{I.\alpha}{R}=\alpha\frac{MR^2}{R}=\alpha MR$

Pero:

$a_c=\alpha r$

Queda:

$T=Ma_c$

Y si reemplazo en la primera ecuación tengo:

$Mg-Ma_c=Ma_c\\g=2a_c\\a_c=\frac{g}{2}$

Con lo que tengo que cuando el aro descendió 75cm:

a) Tenemos:

$T=Mg=0,18kg.9,8\frac{m}{s^2}=1,76N\\\\a=\frac{g}{2}=4,9\frac{m}{s^2}$

La fuerza de la cuerda es 1,76N y la aceleración del centro de masas es $4,9\frac{m}{s^2}$

b) Si consideramos que el centro de masas realizó un movimiento uniformemente acelerado, y consideramos 0 la posición inicial:

$y=\frac{1}{2}a_ct^2\\\\t=\sqrt{\frac{2y}{a_c}}$

Ese es el tiempo para alcanzar una determinada posición, en la ecuación de velocidad tenemos:

$v=a_ct=a_c\sqrt{\frac{2y}{a_c}}=\sqrt{2ya_c}=\sqrt{2.0,75m.4,9\frac{m}{s^2}}=2,71\frac{m}{s}$

Esa es la velocidad del centro de masas, que es también la velocidad tangencial media, la velocidad angular media es:

$w=\frac{v}{r}=\frac{2,71\frac{m}{s}}{0,08m}=33,9s^{-1}$

Esa es la cantidad de radianes por segundo, para pasarlo a rpm hacemos:

$w(rpm)=\frac{33,9s^{-1}}{2\pi}.60s=324rpm$

Con lo cual, cuando el aro bajó 75cm gira a 324rpm.

c) La velocidad del centro de masas es:

$v=\sqrt{2ya_c}=\sqrt{2.0,75m.4,9\frac{m}{s^2}}=2,71\frac{m}{s}$

de 2,71 metros por segundo.

d) Si el aro cayó 75cm y su radio es 8cm, por cada revolución cayó:

$2\pi r$

Entonces el número de vueltas que hizo es:

$n=\frac{75cm}{2\pi .8cm}=1,49$

Con lo que al caer 75cm, el aro hizo 1,49 revoluciones.