Se encuesta a 200 personas acerca de la preferencia de los productos A, B y C; obteniéndose los siguientes resultados:
35 prefieren A y C
42 prefieren B y C
49 prefieren sólo dos productos
75 prefieren sólo un producto
La cuarta parte no tiene preferencia alguna.
¿Cuántos prefieren los productos A y B, pero no el C?
A) 23
B) 21
C) 19
D) 24
Respuestas a la pregunta
Los que prefieren A y B pero no prefieren el producto C son 24. Opción D
De los 62 atletas tenemos que los que no lanzan jabalina ni disco son iguales a 12 atletas
Sean los siguientes conjuntos:
A: Preferencia del producto A
B: Preferencia del producto B
C: Preferencia del producto C
Tenemos por los datos dados que:
|B∩C| = 42
|A∩C| =35
|A∩B| + |A∩C| + |B∩C| - 3|A∩B∩C|= 49
|A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| + |B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C| + |C| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C| = 75
⇒ |A| + |B| + |C| - 2|A∩B| - 2 |B∩C| - 2|A∩C| + 3|A∩B∩C| = 75
La cuarta parte sin preferencia que son: 200/4 = 50
Entonces
|AUBUC| = 200 - 50 = 150
Sustituimos los valores que tenemos:
|A∩B| + |A∩C| + |B∩C| - 3|A∩B∩C|= 49
|A∩B| + 35 + 42 - 3|A∩B∩C|= 49
1. |A∩B| - 3|A∩B∩C| = -28
|A| + |B| + |C| - 2|A∩B| - 2 |B∩C| - 2|A∩C| + 3|A∩B∩C| = 75
|A| + |B| + |C| - 2|A∩B| - 2*42 - 2*35 + 3|A∩B∩C| = 75
2. |A| + |B| + |C| - 2|A∩B| + 3|A∩B∩C| = 229
Por teoría de conjuntos tenemos que:
|AUBUC| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C|
150 = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - 42 - 35 + |A∩B∩C|
3. |A| + |B| + |C| - |A∩B| + |A∩B∩C| = 227
Restamos las ecuaciones 2 y 3
-|A∩B| + 2|A∩B∩C| = 2
⇒ 4. |A∩B| = 2|A∩B∩C| - 2
Sustituimos la ecuación 4 en 1:
2|A∩B∩C| - 2- 3|A∩B∩C| = -28
- |A∩B∩C| = - 28 + 2 = - 26
⇒ 5. |A∩B∩C| = 26
Sustituimos en la ecuación 4 la ecuación 5:
|A∩B| = 2*26 - 2 = 50
Los que prefiere A y B pero no C es igual a los que prefieren A y B menos los que prefieren los tres:
|A∩B| - |A∩B∩C| = 50 - 26 = 24. Opción D
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