Question

Se encuesta a 200 personas acerca de la preferencia de los productos A, B y C; obteniéndose los siguientes resultados:

35 prefieren A y C
42 prefieren B y C
49 prefieren sólo dos productos
75 prefieren sólo un producto
La cuarta parte no tiene preferencia alguna.
¿Cuántos prefieren los productos A y B, pero no el C?
A) 23
B) 21
C) 19
D) 24

Answer 1

Los que prefieren A y B pero no prefieren el producto C son 24. Opción D

De los 62 atletas tenemos que los que no lanzan jabalina ni disco son iguales a 12 atletas

Sean los siguientes conjuntos:

A: Preferencia del producto A

B: Preferencia del producto B

C: Preferencia del producto C

Tenemos por los datos dados que:

|B∩C| = 42

|A∩C| =35

|A∩B| + |A∩C| + |B∩C| - 3|A∩B∩C|= 49

|A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C|  + |B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C|  + |C| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C| = 75

⇒ |A| + |B| + |C| - 2|A∩B| - 2 |B∩C| - 2|A∩C| + 3|A∩B∩C|  = 75

La cuarta parte sin preferencia que son: 200/4 = 50

Entonces

|AUBUC| = 200 - 50 = 150

Sustituimos los valores que tenemos:

|A∩B| + |A∩C| + |B∩C| - 3|A∩B∩C|= 49

|A∩B| + 35 + 42 - 3|A∩B∩C|= 49

1. |A∩B| - 3|A∩B∩C| = -28

|A| + |B| + |C| - 2|A∩B| - 2 |B∩C| - 2|A∩C| + 3|A∩B∩C|  = 75

|A| + |B| + |C| - 2|A∩B| - 2*42 - 2*35 + 3|A∩B∩C|  = 75

2.  |A| + |B| + |C| - 2|A∩B| + 3|A∩B∩C|  = 229

Por teoría de conjuntos tenemos que:

|AUBUC| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |A∩C|  + |A∩B∩C|

150 =  |A| + |B| + |C|  -  |A∩B| - 42 - 35 +  |A∩B∩C|

3.  |A| + |B| + |C|  -  |A∩B| + |A∩B∩C| = 227

Restamos las ecuaciones 2  y 3

-|A∩B| + 2|A∩B∩C| = 2

⇒ 4. |A∩B| = 2|A∩B∩C| - 2

Sustituimos la ecuación 4 en 1:

2|A∩B∩C| - 2- 3|A∩B∩C| = -28

- |A∩B∩C| = - 28 + 2 = - 26

⇒ 5. |A∩B∩C| = 26

Sustituimos en la ecuación 4 la ecuación 5:

|A∩B| = 2*26 - 2 = 50

Los que prefiere A y B pero no C es igual a los que prefieren A y B menos los que prefieren los tres:

|A∩B| - |A∩B∩C|  = 50 - 26 = 24. Opción D

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