Question

Se encuentra que la medición de un lado de un triángulo rectángulo es igual a 12 pulgadas y que el ángulo opuesto a ese lado es de 30° con un error posible de 5'

 

a) Aproximar el error porcentual en el cálculo de la longitud de la hipotenusa.

b) Estimar el máximo error porcentual permisible en la medición del ángulo si el error en el cálculo de la longitud de la hipotenusa no puede ser mayor que el 4 %.


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Answer 1

El error porcentual al calcular la hipotenusa cuando el ángulo fue medido con una incertidumbre de 5' es del 0,25%.

Para que el error de cálculo de la hipotenusa no sea mayor que el 4%, el ángulo debe ser medido con un error no mayor que el 4,41%.

Explicación:

La longitud de la hipotenusa de ese triángulo rectángulo es igual a:

$h=\frac{a}{sen(\alpha)}$

a) Si el error del cateto opuesto es despreciable frente al del ángulo, el error relativo al calcular la hipotenusa será igual al error relativo del seno del ángulo:

$\frac{\Delta sen(\alpha)}{\Delta \alpha}=\frac{d(sen(\alpha))}{d\alpha}=cos(\alpha)\\\\\Delta sen(\alpha)=\Delta \alpha.cos(\alpha)$

Pero el resultado de esta operación solo será válido si la desviación del ángulo está en radianes:

$\Delta(\alpha)[\°]=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\\\\\Delta(\alpha)[rad]=\frac{1}{12}\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2160}$

Entonces el error absoluto queda:

$\Delta sen(\alpha)=\frac{\pi}{2160}.cos(30\º)=0,00126$

Y el error relativo porcentual queda:

$\epsilon(\%)=\frac{\Delta sen(\alpha)}{sen(\alpha)}.100\%=\frac{0,00126}{sen(30\°)}.100\%\\\\\epsilon(\%)=0,25\%$

b) Si ahora el error de cálculo de la hipotenusa no puede ser mayor que el 4%, la incertidumbre en el seno del ángulo tiene que ser como máximo 4%:

$\frac{\Delta sen(\alpha)}{sen(\alpha)}=0,04\\\\\Delta sen(\alpha)=0,04.sen(\alpha)=0,04.sen(30\°)=0,02\\\\\Delta sen(\alpha)=\Delta \alpha.\frac{d(sen(\alpha))}{d\alpha}\\\\\Delta \alpha=\frac{\Delta sen(\alpha)}{\frac{d(sen(\alpha))}{d\alpha}}=\frac{\Delta sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{0,02}{cos(30\°)}=0,0231$

Pero este valor está en radianes, vamos a pasarlo a grados, y si es menor que un grado, a minutos:

$\Delta \alpha[\°]=0,0231.\frac{180}{\pi}\\\\\Delta \alpha=1,32\°$

En términos de error porcentual este error es:

$\epsilon=\frac{1,32\°}{30\°}.100\%=4,41\%$