Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 50° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 22 m de altura y a 150 m del cañón. Determinar:
a. ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil? *
b. Con la misma velocidad inicial, ¿desde qué otra posición se podría haber disparado? *
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Se trata de un movimiento parabólico porque el proyectil tiene un ángulo de salida con la horizontal de 50º.
La velocidad hay que descomponerla en
Vx = V cos50°
Vy = V sen50°
La posición del proyectil en cada momento también tiene dos componentes:
x = Vx t
y = Vy t - 1/2 . a t²
La aceleración en el eje y es la gravedad: a = g = 9,80 m/s²
despejamos Vy t en la segunda ecuación y nos quedan:
Vx t = x
Vy t = y + 1/2 . 9.8 t² = y + 4,90 t²
Dividimos la segunda entre la primera:
(Vy t) / (Vx t) = (y + 4,9 t²) / x
Vy / Vx = tg 50° = 1.19
Sabemos también que x = 150 m y que y = 22 m; ya podemos calcular el tiempo de vuelo:
1.19 = (22 + 4.9 t²) / 150
1.19 * 150 = 22 + 4.9 t²
178.76 = 22 + 4.9 t²
4.9 t² = 178.76 - 22 = 156.76
t² = 156.76 / 4.9 = 32
t = √32
t = 5.7 segundos está el proyectil volando
Sustituimos este valor en
x = Vx t
Vx = 150 / 5.7
Vx = 26.3
y como Vx = V * cos 50º
26.3 = V * 0.64
V = 26.3 / 0.64
V = 41
a) La velocidad con la que debe salir el proyectil es de 41 m/s
Para calcular el apartado b)
Como y = 22
y = Vy t - 1/2 . a t² = V * sen 50º * t - 4.9 t²
22 = 41 . sen50° t - 4,9 t²
que es una ecuación de segundo grado
4,9t² - 31.4t + 22 = 0
y sus soluciones son
t = 5.6 (que es aproximadamente el valor de t calculado anteriormente, se pierde exactitud cuando redondeamos decimales a lo largo del proceso) y t = 0.8 segundos
Para este tiempo:
x = Vx*t = 26.3 * 0.8
x = 21
El cañón puede colocarse a 21 m del blanco