Question

Se dispara una flecha que describe una trayectoria parabólica, de modo que su alcance horizontal es a 6 veces el valor de su altura máxima.
a. Encuentre el ángulo de lanzamiento de la flecha.
b. Si la velocidad inicial es de 13,0 m/s determine el tiempo de vuelo de la flecha con el ángulo hallado en la parte a.
c. Halle la altura máxima y el alcance horizontal para el ángulo de lanzamiento 39,0 grados; Manteniendo la rapidez y la gravedad constantes, ¿cómo puede obtenerse un mayor alcance horizontal? Justifique su respuesta.

Answer 1

Para que la flecha tenga un alcance 6 veces mayor a su altura máxima, se debe lanzar con un ángulo de 33,7°, con el cual su alcance es 15,9 metros y su altura máxima 2,65 metros. Con un ángulo de 39°, su alcance es de 16,9 metros y su altura máxima es de 3,41 metros. El máximo alcance se consigue cuando es lanzada con un ángulo de 45°.

Explicación:

El tiro oblicuo tiene como ecuaciones horarias para la posición vertical y horizontal las siguientes expresiones:

$y=y_0+v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\x=x_0+v_0.cos(\theta).t$

Para simplificar los cálculos podemos asumir que la posición inicial es (0,0) y queda;

$y=v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\x=v_0.cos(\theta).t$

Si componemos las ecuaciones podemos hallar la ecuación de la trayectoria:

$t=\frac{x}{v_0.cos(\theta)}=>y=v_0.sen(\theta).\frac{x}{v_0.cos(\theta)}-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0.cos(\theta)})^2\\\\y=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}\frac{gx^2}{v_0^2cos^2(\theta)}$

a) Vemos que se trata de una ecuación cuadrática donde el alcance se obtiene igualándola a cero:

$0=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}\frac{gx^2}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\v_0^2cos^2(\theta).tan(\theta)=\frac{1}{2}gx\\\\x=\frac{2v_0^2cos(\theta).sen(\theta)}{g}\\\\x=\frac{v_0^2.sen(2\theta)}{g}$

Y la máxima altura reemplazando en la ecuación la mitad del alcance:

$y=\frac{v_0^2.sen(2\theta)}{2g}.tan(\theta)-\frac{1}{2}\frac{g(\frac{v_0^2.sen(2\theta)}{2g})^2}{v_0^2cos^2(\theta)}\\\\y=\frac{v_0^2.sen^2(\theta)}{g}-\frac{1}{2}\frac{v_0^2sen^2(\theta)}{g}=\frac{1}{2}\frac{v_0^2sen^2(\theta)}{g}$

Puedo despejar el ángulo planteando que el alcance horizontal es 6 veces mayor que la altura:

$\frac{v_0^2.sen(2\theta)}{g}=6.\frac{1}{2}\frac{v_0^2.sen^2(\theta)}{g}\\\\sen(2\theta)=3.sen^2(\theta)\\\\2sen(\theta)cos(\theta)=3.sen^2(\theta)\\\\tan(\theta)=\frac{2}{3}\\\\\theta=33,7\°$

b) Para hallar el alcance y la altura ahora no hay más que aplicar las expresiones halladas en el punto anterior, para el alcance queda:

$x=\frac{v_0^2.sen(2\theta)}{g}=\frac{(13\frac{m}{s})^2.sen(2.33,7\°)}{9,81\frac{m}{s^2}}\\\\x=15,9m$

Y para la altura máxima que alcanza la flecha:

$y=\frac{1}{2}\frac{v_0^2sen^2(\theta)}{g}=\frac{1}{2}\frac{(13\frac{m}{s})^2sen^2(33,7\°)}{9,81\frac{m}{s^2}}\\\\y=2,65m$

c) Si aplicamos estas mismas expresiones, con un ángulo de 39°, queda para el alcance horizontal:

$x=\frac{v_0^2.sen(2\theta)}{g}=\frac{(13\frac{m}{s})^2.sen(2.39\°)}{9,81\frac{m}{s^2}}\\\\x=16,9m$

Y para la altura máxima:

$y=\frac{1}{2}\frac{v_0^2sen^2(\theta)}{g}=\frac{1}{2}\frac{(13\frac{m}{s})^2sen^2(39\°)}{9,81\frac{m}{s^2}}\\\\y=3,41m$

d) Si la velocidad inicial y la gravedad son constantes, solo queda variar el ángulo y pareciera en base a lo hallado anteriormente que aumentando el ángulo se aumenta el alcance. Sin embargo existe un alcance máximo que para hallarlo derivamos la expresión del alcance y la igualamos a cero:

$x=\frac{v_0^2.sen(2\theta)}{g}\\\\\frac{dx}{d\theta}=\frac{2v_0^2cos(2\theta)}{g}\\\\\frac{2v_0^2cos(2\theta)}{g}=0\\\\cos(2\theta)=0\\\\\theta=45\°$

Aquí vemos que lanzando la flecha con un ángulo de 45° obtenemos el máximo alcance posible con esta velocidad inicial, el cual es:

$x=\frac{v_0^2}{g}=\frac{(13\frac{m}{s})^2}{9,81\frac{m}{s^2}}=17,2m$